Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2868
i

Ре­ши­те урав­не­ние |2 синус x минус 8 ко­си­нус x|=3 синус x плюс 8 ко­си­нус x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пра­вая часть урав­не­ния долж­на быть не­от­ри­ца­тель­на. При этом усло­вии воз­мож­ны два ва­ри­ан­та.

Пер­вый ва­ри­ант:

 минус 2 синус x плюс 8 ко­си­нус x=3 синус x плюс 8 ко­си­нус x рав­но­силь­но синус x=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=2 Пи k,x= Пи плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

Под­хо­дит толь­ко пер­вый набор, для вто­ро­го

3 синус x плюс 8 ко­си­нус x=3 умно­жить на 0 плюс 8 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 8 мень­ше 0.

Вто­рой ва­ри­ант:

2 синус x минус 8 ко­си­нус x=3 синус x плюс 8 ко­си­нус x рав­но­силь­но синус x= минус 16 ко­си­нус x рав­но­силь­но тан­генс x= минус 16 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус арк­тан­генс 16 плюс 2 Пи k,x= Пи минус арк­тан­генс 16 плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

Пусть x  — эле­мент пер­во­го на­бо­ра, тогда  тан­генс x= минус 16, по­лу­чим  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби =1 плюс тан­генс в квад­ра­те x=257, от­ку­да  ко­си­нус в квад­ра­те x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 257 конец дроби , а зна­чит  ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 257 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Имеем:

 синус x= тан­генс x умно­жить на ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: минус 16, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 257 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Ко­си­нус по­ло­жи­те­лен, по­сколь­ку  минус арк­тан­генс 16 лежит в чет­вер­той чет­вер­ти. Зна­чит,

3 синус x плюс 8 ко­си­нус x=3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: минус 16, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 257 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс 8 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 257 конец ар­гу­мен­та конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 40, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 257 конец ар­гу­мен­та конец дроби мень­ше 0,

так что этот набор не под­хо­дит.

Для вто­ро­го и синус и ко­си­нус сме­нят знак, по­это­му будет

3 синус x плюс 8 ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 40, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 257 конец ар­гу­мен­та конец дроби боль­ше 0,

так что вто­рой набор по­дой­дет.

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка 2 Пи k; Пи минус арк­тан­генс 16 плюс 2 Пи k: k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2862

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2000 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 7 из 10