Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2773
i

Для каж­до­го зна­че­ния па­ра­мет­ра l ре­ши­те урав­не­ние | ко­си­нус x| минус l ко­си­нус x=5.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим  ко­си­нус x=t, по­лу­ча­ем \abst минус lt=5. При по­ло­жи­тель­ных t оно сво­дит­ся к

t минус lt=5 рав­но­силь­но t левая круг­лая скоб­ка 1 минус l пра­вая круг­лая скоб­ка =5 рав­но­силь­но t= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 1 минус l конец дроби

(при l=1 ре­ше­ний нет). Тре­бу­ет­ся, чтобы 0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 1 минус l конец дроби мень­ше или равно 1, то есть чтобы 1 минус l боль­ше 0 (из пер­во­го не­ра­вен­ства). Тогда до­мно­жая вто­рое на 1 минус l, по­лу­ча­ем

5 мень­ше мень­ше или равно 1 минус l рав­но­силь­но l мень­ше или равно минус 4.

Итак, при l мень­ше или равно минус 4 есть ко­рень t= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 1 минус l конец дроби .

При не­по­ло­жи­тель­ных t оно сво­дит­ся к

 минус t минус lt=5 рав­но­силь­но t левая круг­лая скоб­ка минус l минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =5 рав­но­силь­но t= дробь: чис­ли­тель: минус 5, зна­ме­на­тель: 1 плюс l конец дроби

(при l= минус 1 ре­ше­ний нет). Тре­бу­ет­ся, чтобы 0 боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: минус 5, зна­ме­на­тель: 1 плюс l конец дроби боль­ше или равно минус 1, то есть чтобы 1 плюс l боль­ше 0 (из пер­во­го не­ра­вен­ства). Тогда до­мно­жая вто­рое на 1 плюс l, по­лу­ча­ем

 минус 5 боль­ше или равно минус 1 минус l рав­но­силь­но l мень­ше или равно 4.

Итак, при l боль­ше или равно 4 есть ко­рень t= дробь: чис­ли­тель: минус 5, зна­ме­на­тель: 1 плюс l конец дроби .

Оста­лось найти x, что не­труд­но, и по­лу­чить ответ.

 

Ответ: при l боль­ше или равно 4 имеем x=\pm арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: минус 5, зна­ме­на­тель: l плюс 1 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z ; при l мень­ше или равно минус 4 имеем x=\pm арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 1 минус l конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2767

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1998 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 8 из 10