РЕШУ УРОК — выпускные экзамены по математике

Задания

Отметьте на комплексной плоскости все точки z, для которых точки, соответствующие числам $z_1=2i,$ $z_2=z$ и $z_3= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби z плюс 1,$ являются вершинами прямоугольного треугольника.

Решение. Пусть $z=x плюс iy.$ Тогда на плоскости имеем три точки $Z_1 левая круглая скобка 0; 2 правая круглая скобка ;$ $Z_2 левая круглая скобка x; y правая круглая скобка ;$ $Z_3 левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 1; дробь: числитель: y, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$ Очевидно, что в любом из треx случаев $Z_1=Z_2,$ $Z_2=Z_3,$ $Z_1=Z_3,$ т. е. при

$система выражений x=0,y=2 конец системы . \vee система выражений x=2,y=0 конец системы \vee система выражений x= минус 2,y=4 конец системы$

точки Z₁, Z₂, Z₃ не являются вершинами треугольника. Поэтому заранее исключим точки

$левая круглая скобка 0; 2 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2; 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка минус 2; 4 правая круглая скобка . \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

Рассмотрим три случая:

1)  Плоскости Z₁Z₂ и Z₂Z₃ перпендикулярны. Рассмотрим скалярное произведение векторов $\overlineZ_1Z_2$ и $\overlineZ_2Z_3.$ Это ненулевые векторы, исходя их условия (1). Тогда

$\overlineZ_1Z_2 умножить на \overlineZ_2Z_3=0,$

$x левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: y, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка =0,$

$левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка в квадрате =2.$

Множеством точек, удовлетворяющих этому уравнению, является окружность с центром в точке (1; 1) и радиусом $корень из 2 .$ Однако этой окружности принадлежат точки (0; 2) и (2; 0), поэтому результатом в данном случае будет окружность с центром в точке (1; 1), радиусом $корень из 2 ,$ из которой исключены точки (0; 2) и (2; 0).

2)  Плоскости Z₁Z₂ и Z₁Z₃ перпендикулярны. Тогда

$\overlineZ_1Z_2 умножить на \overlineZ_1Z_3=0,$

$x левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: y, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 правая круглая скобка =0,$

$левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка в квадрате =2.$

В данном случае получим окружность с центром в точке (−1; 3), радиусом $корень из 2 ,$ из которой исключены точки (0; 2) и (−2; 4).

3)  Плоскости Z₂Z₃ и Z₁Z₃ перпендикулярны. Отсюда

$\overlineZ_2Z_3 умножить на \overlineZ_1Z_3=0,$

$левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: y, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: y, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 правая круглая скобка =0,$

$x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в квадрате =8.$

Получаем окружность с центром в точке (0; 2), радиусом $2 корень из 2 ,$ из которой исключены точки (2; 0), и (−2; 4). Полученные множества изображены на рисунке.

Ответ: см. рисунок.

Замечание. Задачу также можно решить с помощью теоремы Пифагора, однако решение получается более громоздким.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2715	см. рисунок.

Ключ