Докажите, что функция 
является одной из первообразных функции 
Найдите ту первообразную функции 
наибольшее значение которой на отрезке 
равно 0.
Решение. Применяя формулы дифференцирования сложной функции, получаем
что и требовалось доказать.Решим вторую часть задачи. Необходимо найти первообразную 
функции такую, что 
Мы знаем, что 
где постоянная неизвестна (то есть задача заключается в нахождении этой постоянной). Найдем сначала наибольшее значение функции на отрезке 
Для этого найдем нули производной функции на интервале (0;\,3). Поскольку достаточно решить уравнение 
при 
Имеем:
Так как 
только при 
решим уравнение 
при 
При 
при 
при 
При 
то есть мы нашли три корня, а в итоге — четыре критические точки:
Рассмотрим характер изменения знаков функции 
Множитель x и 
не меняют знак на интервале 
множитель 
меняет знак в точке 
и положителен в окрестности нуля. Множитель 
меняет знак в каждой из остальных трех точек и положителен в окрестности нуля. Отсюда получаем расстановку знаков, показанную на рисунке. Таким образом, каждая из четырех точек является точкой экстремума.
Из рисунка видно, что наибольшее значение функции на отрезке 
достигается в одной из трех точек 
и 
Сравним значения функции в этих точках
Докажем, что 
Так как 
то
Отсюда следует, что 
и 
С другой стороны 
откуда 
что и требовалось доказать.
Таким образом, 
при 
Если положить 
то, очевидно, 
при
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |