PDF-версии: 
Найдите наибольшее отрицательное значение параметра p, при котором для любого действительного значения параметра a площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
не меньше площади фигуры, ограниченной линиями и 
Решение. На рисунке изображены графики функций 
и 
Площади двух указанных фигур ABCD и ABFG заштрихованы (на рисунке для примера взяты значения 
).
Поскольку при любом отрицательном p 
то график каждой функции находится в соответствующей (нижней или верхней) полуплоскости, т. е. обе фигуры ABCD и ABFG при любых 
являются криволинейными трапециями. Поэтому их площади соответственно равны
По условию 
т. е.
для любого 
Рассмотрим отдельно случаи различных знаков старшего коэффициента квадратичной функции в левой части полученного неравенства:
— Если 
В этом случае неравенство выполняется для любого действительного a тогда и только тогда, когда дискриминант квадратного трёхчлена неположителен:
— Если 
В этом случае неравенство принимает вид 
Значит, неравенство выполняется не при всех значениях a, что не удовлетворяет условиям задачи.
— Если 
( по условию задачи). В этом случае квадратный трёхчлен в левой части неравенства положителен для достаточно больших значений a (ветви графика направлены вверх), т. е. неравенство не выполняется при всех значениях a. Таким образом, рассматриваемые значения p не удовлетворяют условиям задачи.
Итак, условиям задачи удовлетворяют только значения 
откуда наибольшее отрицательное значение очевидно.
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |