Ре­ше­ние. За­ме­тим, что функ­ции и не­пре­рыв­ны на ℝ и для любых дей­стви­тель­ных x Пусть точки M₁ и M₂ яв­ля­ют­ся кон­ца­ми от­рез­ка пря­мой y  =  b, ле­жа­щи­ми на гра­фи­ках функ­ций (точка M₁) и (точка M₂).

Про­ве­дем пря­мую через точку M₁, па­рал­лель­ную оси Oy. Она пе­ре­се­чет гра­фик функ­ции в точке M₃. Беря все­воз­мож­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра b, по­лу­чим мно­же­ство пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков M₁M₂M₃ (∠M₂M₁M₃  =  90°), по­доб­ных между собой, так как ∠M₁M₂M₃  =  arctg 2.

От­сю­да сле­ду­ет, что катет M₁M₂ будет наи­мень­шим, если катет M₁M₃  — наи­мень­ший. Длина ка­те­та M₁M₃ равна (где x  — абс­цис­са точек M₁ и M₃). Оче­вид­но, что длина ка­те­та M₁M₃ будет наи­мень­шей при x  =  0 и равна 1, а длина ка­те­та

Ответ:

За­ме­ча­ние.

Этот спо­соб мы об­на­ру­жи­ли в ра­бо­те уче­ни­ка XI клас­са мос­ков­ской гим­на­зии № 1567 Алек­сандра Жи­гу­ле­ва. Этим спо­со­бом можно ре­шить и за­да­чу пер­во­го ва­ри­ан­та, од­на­ко вы­клад­ки будут более гро­мозд­ки­ми.

Обоб­щая ре­зуль­тат А. Жи­гу­ле­ва, за­ме­тим, что любую за­да­чу вида: «Най­ди­те наи­мень­шую длину от­рез­ка пря­мой y  =  b с кон­ца­ми на гра­фи­ках функ­ции y  =  f(x) и пря­мой y  =  kx (при усло­вии, что функ­ция y  =  f(x) не­пре­рыв­на на ℝ и не имеет с пря­мой y  =  kx общих точек)», можно све­сти к на­хож­де­нию ми­ни­му­ма функ­ции

При этом, так как раз­ность f(x) − kx имеет на ℝ один и тот же знак, то либо в за­ви­си­мо­сти от со­от­но­ше­ния между функ­ци­я­ми f(x) и y  =  kx.

(В ка­че­стве при­ме­ра рас­смот­ри­те за­да­чу для функ­ций и y  =  2x − 5.)

Ответ: 3.