PDF-версии: 
Какие значения может принимать сумма чисел x и y, если 
Решение. Пусть 
Перепишем данное равенство как уравнение 
после чего переформулируем задачу: при каких значениях a уравнение 
имеет хотя бы одно решение?
Раскрывая знак модуля в левой части уравнения, заменим его объединением двух систем
Перепишем первую из них в виде
Необходимое нам исследование заключается в определении множества значений квадратного трехчлена 
на отрезке 
Поскольку наибольшее и наименьшее значения квадратного трехчлена на отрезке могут достигаться только в его вершине (если она принадлежит отрезку) или на концах отрезка, то достаточно посчитать значения трехчлена при x, равных 2; 4 и 3,5 (3,5 — вершина, она лежит на отрезке 
) и выбрать среди них наибольшее и наименьшее. Эти значения равны: 2 при 
4 при 
и 4,25 при 
Таким образом, первая система имеет решения при 
Аналогично исследуем вторую систему, для чего перепишем ее в виде
Найдем область изменения функции 
на отрезке Поскольку ветви параболы (графика функции f) направлены вверх, а точка 2,5 — абсцисса вершины параболы — лежит на рассматриваемом отрезке, то
Таким образом, для второй системы a может принимать значения из отрезка 
Окончательно получаем, что при всех 
исходное уравнение имеет решение.
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |