PDF-версии: 
Найдите все a, при которых касательная к графику 
о точке графика с абсциссой a не пересекает графика ни одной из двух функций 
и 
Решение. Обозначим
Поскольку касательная к графику функции 
не пересекается с прямой 
то она ей параллельна, то есть ее угловой коэффициент равен 
Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику через точку графика с абсциссой 
равен значению производной функции 
в точке то есть 
Функция дифференцируема на 
и ее производная равна 
Точка 
должна удовлетворять условию
Но если 
то 
и значение функции в точке равно 
Уравнение касательной, проведенной к графику через точку графика с абсциссой имеет вид
По условию задачи 
поэтому возможно переписать уравнение касательной в виде 
Из условия 
(мы формально подставили a вместо ) находим, что a может иметь вид 
где 
Воспользуемся теперь условием, что касательная 
не пересекает график Это условие означает, что уравнение 
не имеет решений. Приведем последнее уравнение к квадратному 
Его дискриминант
Квадратное уравнение не имеет решений, если 
то есть
отрицательно при всех a).Поскольку 
где k —целое, то получим неравенство 
откуда 
и с учетом целочисленности 
Таким образом, единственным значение a, удовлетворяющим условиям задачи, является 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |