Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2458
i

Най­ди­те экс­тре­му­мы функ­ции y= на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 1 минус x, зна­ме­на­тель: 1 плюс x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: конец дроби 8x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Возь­мем про­из­вод­ную дан­ной функ­ции (опре­де­лен­ной при  дробь: чис­ли­тель: 1 минус x, зна­ме­на­тель: 1 плюс x конец дроби боль­ше 0 и x не равно 0, то есть при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка ).

 левая круг­лая скоб­ка на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 1 минус x, зна­ме­на­тель: 1 плюс x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '= левая круг­лая скоб­ка \ln левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус \ln левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '=
= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 минус x конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка ' минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 плюс x конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка ' минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 минус x конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 плюс x конец дроби умно­жить на 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 плюс x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8x в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 плюс x минус левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8x в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8x в квад­ра­те конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 16x в квад­ра­те плюс 9 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 8x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 16x в квад­ра­те плюс 9x в квад­ра­те минус 9, зна­ме­на­тель: 8x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 25x в квад­ра­те минус 9, зна­ме­на­тель: 8x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 5x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 8x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Зна­ме­на­тель от­ри­ца­те­лен при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Зна­чит, знак пол­но­стью опре­де­ля­ет­ся зна­ком чис­ли­те­ля  — при x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби или x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби y' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 и функ­ция y левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка убы­ва­ет, при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка и x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка y' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 и функ­ция y левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка воз­рас­та­ет. По­это­му x= минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби яв­ля­ет­ся точ­кой ми­ни­му­ма, а x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби   — точ­кой мак­си­му­ма, причём

f левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 1 плюс 0,6, зна­ме­на­тель: 1 минус 0,6 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 0,6 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 1,6, зна­ме­на­тель: 0,4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4,8 конец дроби = на­ту­раль­ный ло­га­рифм 4 плюс дробь: чис­ли­тель: 90, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби = на­ту­раль­ный ло­га­рифм 4 плюс дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,

f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 1 минус 0,6, зна­ме­на­тель: 1 плюс 0,6 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 умно­жить на 0,6 конец дроби = на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 0,4, зна­ме­на­тель: 1,6 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4,8 конец дроби = на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 90, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби = минус на­ту­раль­ный ло­га­рифм 4 минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2452

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1991 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций
?
Сложность: 5 из 10