Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2340

Через точку A(9; −3) проведена прямая, которая является касательной к графику функции y= корень из (18 минус x в квадрате ) . Определите угол наклона этой прямой к оси абсцисс. Сделайте рисунок с изображением графика данной функции и данной касательной.

Спрятать решение

Решение.

Уравнение y= корень из (18 минус x в квадрате ) или y в квадрате =18 минус x в квадрате , x в квадрате плюс y в квадрате =18 (при условии y больше или равно 0) задает полуокружность с центром в начале координат и радиусом 2 корень из (3) . Допустим, что уравнение касательной имеет вид y=kx плюс b, тогда  минус 3=9k плюс b (условие прохождения через точку (9; −3)) и расстояние от начала координат до прямой kx минус y плюс b=0 равно радиусу окружности, то есть \abs дробь: числитель: 0k минус 0 плюс b, знаменатель: корень из (k в квадрате плюс 1) конец дроби = корень из (18) .

Из первого уравнения b=3 минус 9k, тогда из второго:

\abs дробь: числитель: 3 минус 9k, знаменатель: корень из (k в квадрате плюс 1) конец дроби = корень из (18) равносильно дробь: числитель: (3 минус 9k) в квадрате , знаменатель: k в квадрате плюс 1 конец дроби =18 равносильно  9(1 минус 3k) в квадрате =18(1 плюс k в квадрате ) равносильно
 равносильно 1 минус 6k плюс 9k в квадрате =2 плюс 2k в квадрате равносильно 7k в квадрате минус 6k минус 1=0 равносильно совокупность выражений k=1,k= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби , конец совокупности .

откуда b= минус 6 или b= целая часть: 4, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 7 соответственно.

Итак, уравнения касательных к этой окружности имеют вид y=x минус 6 и y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби x плюс целая часть: 4, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 7 . Однако вторая касательная касается нижней половины окружности и нам не подходит. Первая же имеет угловой коэффициент −1, поэтому образует с горизонтальной осью угол 135°.

 

Ответ: 135°.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2335

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1988 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Касательная к графику функции
?
Сложность: 8 из 10