PDF-версии: 
Многочлен P(x) делится без остатка на x + 1, а при делении на x2 − 3x даёт в остатке 7x − 1. Найдите остаток от деления многочлена P(x) на x3 − 2x2 − 3x.
Решение. Запишем искомый многочлен в виде
Ясно, что 
делится на 
и 
а потому не влияет на остатки от деления на них. Значит, и 
делится на и дает остаток 
при делении на 
Если многочлен делится на 
то у него есть корень 
откуда 
Далее,
откуда 
то есть 
откуда 
Из последнего условия и уравнения 
следует, что 
Значит,
и 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |