Решите уравнение 
Решение. Преобразуем 
перейдя к тригонометрической форме записи комплексного числа:
Подставим найденное значение и разложим на множители:
Решим эти уравнения, записав z в тригонометрической форме. Пусть 
тогда 
Если 
то
откуда 
и 
где 
Для получения всех возможных ответов достаточно взять k = 0, 1, 2, получим:
Если 
то 
откуда 
и 
Для получения всех возможных ответов достаточно взять 
получим:
Ответ: 
Примечания Д. Д. Гущина.
1. Полезно показать учащимся удобный приём вычисления натуральных степеней чисел 
основанный на применении тождества 
(знаки согласованы). В данной задаче получаем:
2. Корни уравнения 
можно найти и более алгоритмическим образом: введем замену 
получим квадратное уравнение 
затем решим или его по общей формуле, или подберем корни −8 и i, используя теорему, обратную теореме Виета.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |