Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2250

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=3 корень из (5 минус 2x) , касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x0 = −2, и прямой y = 0.

Спрятать решение

Решение.

Найдем уравнение касательной. Для этого вычислим производную:

(3 корень из (5 минус 2x) )'=3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из (5 минус 2x) конец дроби умножить на (5 минус 2x)'=3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из (5 минус 2x) конец дроби умножить на ( минус 2)= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из (5 минус 2x) конец дроби .

Тогда y'( минус 2)= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из (9) конец дроби = минус 1 и y( минус 2)=3 корень из (9) =9, поэтому уравнение касательной имеет вид

y= минус 1(x плюс 2) плюс 9 равносильно y= минус x минус 2 плюс 9 равносильно y= минус x плюс 7.

Прямая y= минус x плюс 7 пересекает ось абсцисс при x=7, а график функции y=3 корень из (5 минус 2x)  — при x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби . Значит, область ограничена сверху графиком y= минус x плюс 7, а снизу — осью абсцисс при x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;7 правая квадратная скобка и графиком y=3 корень из (5 минус 2x) при x принадлежит левая квадратная скобка минус 2; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . Разобьем область на две части вертикальной прямой x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , тогда правая часть — прямоугольный треугольник с горизонтальным катетом 7 минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби и вертикальным 7 минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби (поскольку прямая x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби пересекается с прямой y= минус x плюс 7 в точке  левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ), значит, его площадь  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 81, знаменатель: 8 конец дроби . Поэтому общая площадь равна

S= дробь: числитель: 81, знаменатель: 8 конец дроби плюс принадлежит t\limits_ минус 2 в степени (\tfrac52) ( минус x плюс 7 минус 3 корень из (5 минус 2x) )dx= дробь: числитель: 81, знаменатель: 8 конец дроби плюс принадлежит t\limits_ минус 2 в степени (\tfrac52) ( минус x плюс 7 минус 3(5 минус 2x) в степени (\tfrac12) )dx=

= дробь: числитель: 81, знаменатель: 8 конец дроби плюс \left. левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 7x минус 3 умножить на дробь: числитель: (5 минус 2x) в степени (\tfrac32) , знаменатель: \tfrac32 конец дроби умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка |_ минус 2 в степени (\tfrac52) =
= дробь: числитель: 81, знаменатель: 8 конец дроби плюс \left. левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 7x плюс (5 минус 2x) в степени (\tfrac32) правая круглая скобка |_ минус 2 в степени (\tfrac52) = дробь: числитель: 81, знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 4 конец дроби плюс 7 умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби плюс 0 в степени (\tfrac32) плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 минус 7 умножить на ( минус 2) минус 9 в степени (\tfrac32) =
= дробь: числитель: 81, знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 8 конец дроби плюс целая часть: 17, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс 0 плюс 2 плюс 14 минус 27= дробь: числитель: 56, знаменатель: 8 конец дроби плюс целая часть: 6, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 =7 плюс целая часть: 6, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 = целая часть: 13, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 .

Ответ:  целая часть: 13, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2245

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1985 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 8 из 10