Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2248

Найдите все корни уравнения  синус в степени 4 x минус косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус x правая круглая скобка =0,25, принадлежащие отрезку [ минус Пи ;2 Пи ].

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение

 синус в степени 4 x минус косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус x правая круглая скобка =0,25 равносильно
 равносильно синус в степени 4 x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс x минус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус x правая круглая скобка правая круглая скобка =0,25 равносильно

 равносильно синус в степени 4 x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус (2x) плюс косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0,25 равносильно ( синус в квадрате x) в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус 2x=0,25 равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 1 минус косинус 2x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус 2x=0,25 равносильно

 равносильно (1 минус косинус 2x) в квадрате минус 2 косинус 2x=1 равносильно 1 минус 2 косинус 2x плюс косинус в квадрате 2x минус 2 косинус 2x=1 равносильно косинус в квадрате 2x минус 4 косинус 2x плюс =0 равносильно

 равносильно косинус 2x( косинус 2x минус 4)=0 равносильно совокупность выражений косинус 2x=0, косинус 2x=4(невозможно) конец совокупности . равносильно 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи k,k принадлежит Z .

На отрезке [ минус Пи ;2 Пи ] лежат  минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби (получающиеся соответственно при k = −2; −1; 0; 1; 2; 3).

 

Ответ:  минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2243

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1985 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 6 из 10