Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2247

Число x= дробь: числитель: 1 минус i, знаменатель: 1 плюс i конец дроби является корнем уравнения 2x в кубе плюс a в квадрате x в квадрате плюс 2a в квадрате x плюс 2 минус a=0, a принадлежит R . Найдите значение a и решите уравнение при найденном значении a.

Спрятать решение

Решение.

Имеем:

 дробь: числитель: 1 минус i, знаменатель: 1 плюс i конец дроби = дробь: числитель: (1 минус i)(1 минус i), знаменатель: (1 минус i)(1 плюс i) конец дроби = дробь: числитель: (1 минус i) в квадрате , знаменатель: 1 минус i в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1 минус 2i минус 1, знаменатель: 1 плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: минус 2i, знаменатель: 2 конец дроби = минус i.

Подставим теперь z= минус i в уравнение. Получим

2( минус i) в кубе плюс a в квадрате ( минус i) в квадрате плюс 2a в квадрате ( минус i) плюс 2 минус a=0 равносильно 2i плюс a в квадрате ( минус 1) минус 2a в квадрате i минус a плюс 2=0 равносильно

 равносильно 2i минус a в квадрате минус 2a в квадрате i минус a плюс 2=0 равносильно минус a в квадрате минус a плюс 2 плюс i(2 минус 2a в квадрате )=0.

Поскольку a принадлежит R , это равносильно  минус a в квадрате минус a плюс 2=0 и 2 минус 2a в квадрате =0. Корнями второго уравнения являются a=\pm 1, но только a=1 подходит в первое уравнение. Значит, уравнение имеет вид

2x в кубе плюс x в квадрате плюс 2x плюс 1=0 равносильно (2x плюс 1)x в квадрате плюс 2x плюс 1=0 равносильно (2x плюс 1)(x в квадрате плюс 1)=0 равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x=\pm i. конец совокупности .

Ответ: \left\ минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;\pm i\.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2242

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1985 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Действия над комплексными числами
?
Сложность: 5 из 10