РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2199

Докажите, что при всех натуральных значениях n число $4 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 15n плюс 32$ кратно 3.

Спрятать решение

Решение.

Имеем:

$4 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 15n плюс 32= левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 15n плюс 33= левая круглая скобка 4 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени n плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 4 плюс 1 правая круглая скобка плюс 15n плюс 33=$
$=3 левая круглая скобка 4 в степени n плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 4 плюс 1 правая круглая скобка плюс 15n плюс 33= 3 левая круглая скобка 4 в степени n плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 4 плюс 1 плюс 5n плюс 11 правая круглая скобка ,$ $4 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 15n плюс 32= левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 15n плюс 33=$
$= левая круглая скобка 4 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени n плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 4 плюс 1 правая круглая скобка плюс 15n плюс 33=$
$=3 левая круглая скобка 4 в степени n плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 4 плюс 1 правая круглая скобка плюс 15n плюс 33= 3 левая круглая скобка 4 в степени n плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 4 плюс 1 плюс 5n плюс 11 правая круглая скобка ,$ $4 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 15n плюс 32= левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 15n плюс 33=$
$= левая круглая скобка 4 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени n плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 4 плюс 1 правая круглая скобка плюс 15n плюс 33=$
$=3 левая круглая скобка 4 в степени n плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 4 плюс 1 правая круглая скобка плюс 15n плюс 33=$
$= 3 левая круглая скобка 4 в степени n плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 4 плюс 1 плюс 5n плюс 11 правая круглая скобка ,$

что кратно 3.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2194

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1983 год, работа 2, вариант 2

? Классификатор: Доказательство тождеств, неравенств

Сложность: 7 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь