Объём конуса равен Какой угол должен быть между высотой конуса и его образующей, чтобы расстояние от центра основания конуса до образующей было наибольшим?
Пусть S — вершина конуса, O — центр основания, A — точка на окружности основания. Пусть радиус основания конуса равен r, а высота равна h, тогда по условию
Образующая конуса SA из прямоугольного треугольника SOA равна
Расстояние от O до SA — высота того же прямоугольного треугольника, поэтому оно равно
Нужно найти наименьшее значение подкоренного выражения. Возьмем производную:
что положительно при и отрицательно при
поэтому функция
возрастает при
и убывает при
принимая наибольшее значение при
Тогда
Ответ:
Задание парного варианта: 2176

