Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2181
i

Объём ко­ну­са равен  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Какой угол дол­жен быть между вы­со­той ко­ну­са и его об­ра­зу­ю­щей, чтобы рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са до об­ра­зу­ю­щей было наи­боль­шим?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть S  — вер­ши­на ко­ну­са, O  — центр ос­но­ва­ния, A  — точка на окруж­но­сти ос­но­ва­ния. Пусть ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен r, а вы­со­та равна h, тогда по усло­вию  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи r в квад­ра­те h= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи рав­но­силь­но h= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: r в квад­ра­те конец дроби . Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са SA из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOA равна  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: r в сте­пе­ни 4 конец дроби плюс r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

Рас­сто­я­ние от O до SA  — вы­со­та того же пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, по­это­му оно равно

 дробь: чис­ли­тель: 2S_SOA, зна­ме­на­тель: SA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: SO умно­жить на OA, зна­ме­на­тель: SA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: r умно­жить на \dfrac1, зна­ме­на­тель: r в квад­ра­те конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \dfrac1 конец ар­гу­мен­та r в сте­пе­ни 4 плюс r в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: r ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \dfrac1 конец ар­гу­мен­та r в сте­пе­ни 4 плюс r в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \dfrac1 конец ар­гу­мен­та r в квад­ра­те плюс r в сте­пе­ни 4 конец дроби .

Нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние под­ко­рен­но­го вы­ра­же­ния. Возь­мем про­из­вод­ную:

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: r в квад­ра­те конец дроби плюс r в сте­пе­ни 4 пра­вая круг­лая скоб­ка '= левая круг­лая скоб­ка r в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс r в сте­пе­ни 4 пра­вая круг­лая скоб­ка '= минус 2r в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4r в кубе = дробь: чис­ли­тель: 4r в сте­пе­ни 6 минус 2, зна­ме­на­тель: 4r в кубе конец дроби ,

что по­ло­жи­тель­но при r боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 6 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби и от­ри­ца­тель­но при r мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 6 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , по­это­му функ­ция  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: r в квад­ра­те конец дроби плюс r в сте­пе­ни 4 воз­рас­та­ет при r боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 6 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби и убы­ва­ет при r мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 6 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , при­ни­мая наи­боль­шее зна­че­ние при r= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 6 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Тогда

 тан­генс \angle OSA= дробь: чис­ли­тель: OA, зна­ме­на­тель: OS конец дроби = дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: \dfrac1r в квад­ра­те конец дроби =r в кубе = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Ответ:  арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2176

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1982 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Гео­мет­рия
?
Сложность: 9 из 10