Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2180
i

Вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми (сде­лав ри­су­нок) y=|x в квад­ра­те плюс 2x минус 3|, y  =  5.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­стро­им гра­фик функ­ции

y=\absx в квад­ра­те плюс 2x минус 3=\absx в квад­ра­те плюс 2x плюс 1 минус 4=\abs левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4=\abs левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4.

Это будет па­ра­бо­ла с вер­ши­ной в точке (1, −4), ниж­няя часть ко­то­рой будет от­ра­же­на на­верх. Гра­ни­ца­ми для этой части будут корни урав­не­ния  левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4=0, то есть x минус 1=\pm 2, x= минус 1 или x=3. Гра­фик пе­ре­се­чет пря­мую y  =  5 в точ­ках, где \abs левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4=5, то есть  левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4=\pm 5 (ва­ри­ант с −5 не­воз­мо­жен),  левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =9, x минус 1=\pm 3, x=4 или x= минус 2.

Итак, об­ласть огра­ни­че­на свер­ху пря­мой y  =  5, а снизу гра­фи­ком функ­ции y= левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка или x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 3;4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и гра­фи­ком функ­ции y= минус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . По­сколь­ку гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но пря­мой x  =  1 (оси па­ра­бо­лы), пло­ща­ди на пер­вых двух ин­тер­ва­лах равны, по­это­му будем счи­тать толь­ко одну из них и удво­им ее. Тогда

S= при­над­ле­жит t\limits_ минус 1 в кубе левая круг­лая скоб­ка 5 плюс левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс 2 при­над­ле­жит t\limits_3 в сте­пе­ни 4 левая круг­лая скоб­ка 5 минус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx=
= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от минус 1} в кубе левая круг­лая скоб­ка 1 плюс левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс 2 при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 3} в сте­пе­ни 4 левая круг­лая скоб­ка 9 минус левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка dx= левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка |_{ минус 1 до 3, плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 9x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка |_{3 до 4, =
= 3 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 8 минус левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 9 умно­жить на 4 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 27 минус 9 умно­жить на 3 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 8 пра­вая круг­лая скоб­ка =
=3 плюс дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 36 минус 9 минус 27 плюс дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =4 плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = целая часть: 14, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 .

Ответ:  целая часть: 14, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2175

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1982 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 8 из 10