Дана функция 
а) Найдите a и b, если известно, что числа 
являются корнями функции f.
б) Пусть 
Решите неравенство 
в) Пусть 
Решите уравнение 
г) Найдите все пары 
при которых период функции f равен 
Решение. а) При 
получаем 
и
При 
получаем 
и
Совмещая эти условия, получим: 
б) Преобразуем неравенство:
Значит, либо 
тогда 
т. е.
получим 
при 
Либо 
тогда второй множитель всегда положителен и не влияет на знак. Сократим его и получим неравенство
что очевидно выполнено при 
при
Заметим, что точки 
попадают на такие отрезки при четных k и не попадают при нечетных, поэтому придется добавить в ответ только соответствующие точки с нечетными k, 
в) Запишем уравнение в виде
и преобразуем его:
Обозначая 
получим уравнение
Решим второе уравнение 
при 
(а при 
уравнение 
не имеет корней). Первое уравнение дает 
тогда 
при Второе же может иметь решения только если 
(что сразу запрещает 
) и 
(поэтому при 
решений тоже нет). При 
получаем что 
такой случай мы уже разбирали. Если же 
то 
и уравнение дает
г) Для начала заметим, что тогда
Выясним, когда выполнены эти условия: 
и 
Поэтому: 
и
Получаем два уравнения 
и 
или 
и 
Сложив эти уравнения, получим 
откуда 
Тогда первое уравнение дает 
или 
отсюда
Итак,
Осталось убедиться, что равенство 
выполнено и для всех остальных x. Для этого преобразуем функцию
что периодично с периодом 
поскольку
Ответ: а) a = b =−1; б) 
в) 
при любом b; 
при 
г) a = b =−3.
в) при любом b; при г) a = b =−3. в) при любом b; при г) a = b =−3.