PDF-версии: 
Даны многочлены 
и 
а) Найдите наибольшее возможное число действительных корней уравнения 
б) Пусть 
и 
Решите уравнение
в) Пусть 
и 
Найдите все целые a, d, при которых число 
делится на 
при всех 
г) Пусть Найдите все целые a, b, c при которых разность 
делится на 
при всех
Решение. а) Нетрудно видеть, что функция
имеет не более одной точки, в которой меняется характер ее монотонности.
б) Если 
то
поэтому 
— точка минимума функции f, а 
в) Возьмем простое число 
По условию 
должно делиться на 
таким образом, число 
должно иметь n своим делителем, чего быть не может. Второе решение. Пусть
где 
— целое. Ясно, что 
Перейдем теперь к пределу при 
в равенстве
Число, стоящее в его левой части — целое, между тем его правая часть стремится к нулю. Значит,
г) Ясно, что достаточно потребовать, чтобы многочлен 
делился на 
таким образом, 
должно быть корнем кратности, не меньшей двух многочлена 
Для этого необходимо и достаточно, 
Получаем, что 
и 
откуда и следует ответ. Однако, то, что условие делимости на 
является также и необходимым, не столь уж очевидно. Пусть 
— многочлены с целыми коэффициентами, про которые известно, что число делится на для любого натурального n. Тогда многочлен 
делится на 
над 
(
Ответ: а) два корня; 
и 
г) 
при 
----------
Дублирует задание 2107.