Дана функция 
а) Пусть 
Решите уравнение 
б) Найдите все a, при которых 
в) Пусть xa — наименьший положительный корень уравнения 
Найдите наименьшее значение 
г) Найдите все a, при которых 
при всех 
Решение. а) Произведя сокращение, получим уравнение
Осталось учесть, что 
при 
б) Случаи 
надо рассмотреть отдельно; при других значениях a после интегрирования получаем неравенство 
в) Поскольку 
при 
то наименьшим корнем может быть лишь 
к примеру, 
г) Прежде всего заметим, что множитель 
не должен обращаться в ноль на отрезке 
откуда следует, что 
таким образом, 
Далее, подставив 
получаем, что должно иметь место неравенство
Учитывая ограничение 
получаем, что 
Наконец, исследовав аналогичным образом неравенство, получающееся при подстановке 
имеем в результате, что 
Осталось показать, что для любого 
неравенство 
верно для 
Фиксируем некоторое x из данного отрезка и рассмотрим функцию 
Так как при этом 
то функция h выпукла вверх, следовательно, ее наименьшее значение достигается на одном из концов отрезка 
Поэтому достаточно проверить неравенства 
(которое очевидно верно при 
) и неравенство 
Замена 
в последнем неравенстве приводит к неравенству 
Нетрудно видеть, что функция 
выпукла, поэтому это неравенство достаточно проверить в крайних точках отрезка.
Ответ: а) 
б) 
где 
или 
в) 
г)
б) где или в) г) б) где или в) г)