РЕШУ УРОК — выпускные экзамены по математике

Задания

3В. Дано число $\varepsilon не равно 1,$ такое что $\varepsilon в кубе =1.$ Сопоставим точкам $A левая круглая скобка a правая круглая скобка , B левая круглая скобка b правая круглая скобка , C левая круглая скобка c правая круглая скобка$ плоскости (здесь $a, b, c$   — комплексные числа) числа $u=a плюс b\varepsilon плюс c\varepsilon в квадрате$ и $v=a плюс b\varepsilon в квадрате плюс c\varepsilon .$

а)  Известно, что $a=0,$ $c= минус 2,$ $u=0.$ Определите вид треугольника ABC.

б)  Докажите, что числа u и v не изменятся, если треугольник ABC подвергнуть параллельному переносу.

в)  Докажите, что треугольник ABC является равносторонним тогда и только тогда, когда $uv=0.$

г)  Найдите множество значений u для всех треугольников ABC, накрываемых кругом радиуса 1.

Решение. Конечно, можно записать, что $\varepsilon = дробь: числитель: минус 1\pm i корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби ,$ однако всюду в дальнейшем нам потребуются лишь следующие два свойства этого числа:

$1 плюс \varepsilon плюс \varepsilon в квадрате =0\quadи\quad \arg\varepsilon =\pm\tfrac2 Пи 3.$

Первое из них следует из разложения $\varepsilon в кубе минус 1= левая круглая скобка \varepsilon минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс \varepsilon плюс \varepsilon в квадрате правая круглая скобка =0,$ второе  — из того, что ε  — отличный от 1 кубический корень из 1.

а)  Если $a=0$ и $u=0,$ то $b\varepsilon плюс c\varepsilon в квадрате =0,$ откуда $b=c левая круглая скобка минус \varepsilon правая круглая скобка .$ Следовательно, точка B получена из точки C поворотом на угол $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби$ вокруг начала координат, совпадающего с вершиной A этого треугольника. Поэтому он  — равносторонний.

б)  Пусть произведен параллельный перенос на вектор, определяемый комплексным числом z. Тогда

$u'=a плюс z плюс левая круглая скобка b плюс z правая круглая скобка \varepsilon плюс левая круглая скобка c плюс z правая круглая скобка \varepsilon в квадрате =u плюс z левая круглая скобка 1 плюс \varepsilon плюс \varepsilon в квадрате правая круглая скобка =u.$ $u'=a плюс z плюс левая круглая скобка b плюс z правая круглая скобка \varepsilon плюс левая круглая скобка c плюс z правая круглая скобка \varepsilon в квадрате =$
$=u плюс z левая круглая скобка 1 плюс \varepsilon плюс \varepsilon в квадрате правая круглая скобка =u.$ $u'=$
$=a плюс z плюс левая круглая скобка b плюс z правая круглая скобка \varepsilon плюс левая круглая скобка c плюс z правая круглая скобка \varepsilon в квадрате =$
$=u плюс z левая круглая скобка 1 плюс \varepsilon плюс \varepsilon в квадрате правая круглая скобка =u.$

Постоянство числа v проверяется аналогично.

в)  В силу предыдущего пункта мы вправе считать, что точка A совпадает с началом координат, так что $a=0.$ Если треугольник ABC  — равносторонний, то точка B получается из точки C поворотом на угол $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби$ в одном из двух направлений, значит, одно из чисел b и c получается из другого умножением на $минус \varepsilon ,$ поэтому либо $b=c левая круглая скобка минус \varepsilon правая круглая скобка ,$ либо $c=b левая круглая скобка минус \varepsilon правая круглая скобка ,$ т. е. $uv=0.$ Для доказательства обратного утверждения надо просто проследить, что все рассуждения можно провести в обратном направлении (ср\. с решением первого пункта).

г)  Опять-таки в силу пункта б) мы вправе предположить, что единичный круг имеет O своим центром. Следовательно, $|a|, |b|, |c|\leqslant1,$ откуда $|u|\leqslant3.$ Обратно, если положить $b=\varepsilon в квадрате a,$ $c=\varepsilon a,$ где $|a|\leqslant1,$ то $a плюс b\varepsilon плюс c\varepsilon в квадрате =3a,$ поэтому любое комплексное число u, где $|u|\leqslant3,$ является значением суммы $a плюс b\varepsilon плюс c\varepsilon в квадрате$ для некоторой тройки чисел |a|, |b|, |c|. Модуль каждого из которых не превосходит единицы.

Ответ: а) равносторонний; г) круг радиусом 3 с центром в начале координат.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2099	а) равносторонний; г) круг радиусом 3 с центром в начале координат.

Ключ