Ре­ше­ние. а)  Под­ста­вив, по­лу­чим урав­не­ние:

Обо­зна­чим тогда:

Вер­нем­ся к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным:

б)  Под­ста­вив, по­лу­чим не­ра­вен­ство:

Обо­зна­чим тогда:

Най­дем корни чис­ли­те­ля: Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем: при

в)  Так как функ­ция мо­но­тон­на, для тре­бу­е­мо­го не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но мо­но­тон­но­сти функ­ции на ин­тер­ва­ле Для про­из­вод­ной

оче­вид­но, что на ин­тер­ва­ле Вы­яс­ним, при каких зна­че­ни­ях a со­хра­ня­ет на этом про­ме­жут­ке свой знак чис­ли­тель. Изоб­ра­зив (см. рис.) гра­фик функ­ции на от­рез­ке за­клю­ча­ем, что на ин­тер­ва­ле если и на ин­тер­ва­ле если

г)  Оче­вид­но, тре­бу­ет­ся найти такие a, что урав­не­ние (*) не имеет по­ло­жи­тель­ных ре­ше­ний при каких-то b. За­ме­тим, что

При (*), оче­вид­но, не имеет ре­ше­ний.

По­стро­им те­перь эс­ки­зы гра­фи­ков функ­ции при раз­лич­ных Про­из­вод­ная

Пусть Функ­ция g воз­рас­та­ет на и на Учи­ты­вая по­ве­де­ние функ­ции g при и при по­лу­ча­ем ри­су­нок слева.

Пусть Функ­ция g воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ках и и убы­ва­ет на про­ме­жут­ках и За­ме­тим, что

Учи­ты­вая по­ве­де­ние функ­ции g при и при по­лу­ча­ем ри­су­нок спра­ва.

Те­перь ясно, что урав­не­ние (*) при имеет по­ло­жи­тель­ные ре­ше­ния при всех b, а при не имеет по­ло­жи­тель­ных (и во­об­ще любых) ре­ше­ний при

Ответ: а) {1}; б) в) или г)