РЕШУ УРОК — выпускные экзамены по математике

Задания

№ 2048

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 1

? Классификатор: Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения и системы

Сложность: 11 из 10

Санкт-петербургские выпускные экзамены. Профильно-элитарные варианты. 1. Показательная и логарифмическая функции

Дана функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = десятичный логарифм левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка \lg левая круглая скобка 10 в степени 5 x правая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 10 в кубе конец дроби правая круглая скобка .$

а)  Решите неравенство $f левая круглая скобка x правая круглая скобка \leqslant0.$

б)  Решите уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка .$

в)  При каких значениях a уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a$ имеет ровно два различных корня?

г)  Пусть $n левая круглая скобка b правая круглая скобка ,$ где $b больше 0$ и $b не равно 1,$   — число различных корней уравнения $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =f левая круглая скобка bx правая круглая скобка .$ Постройте график функции n.

Решение. а)  Рассмотрим многочлен

$g левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус t левая круглая скобка t плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка = минус t в кубе минус 2t в квадрате плюс 15t.$

Так как $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = g левая круглая скобка десятичный логарифм x правая круглая скобка ,$ данное неравенство равносильно неравенству $g левая круглая скобка t правая круглая скобка меньше или равно 0,$ которое решаем методом интервалов. Значит, $t принадлежит левая квадратная скобка минус 5; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ откуда и получаем ответ.

б)  Так как $f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка = g левая круглая скобка минус десятичный логарифм x правая круглая скобка ,$ то получаем уравнение $g левая круглая скобка t правая круглая скобка = g левая круглая скобка минус t правая круглая скобка ,$ или, после преобразований, $t левая круглая скобка t в квадрате минус 15 правая круглая скобка = 0.$

в)  Число решений данного уравнения совпадает с числом решений уравнения $g левая круглая скобка t правая круглая скобка = a,$ которое равно двум, если a  — значение функции g в ее экстремальных точках (см. рис), которые находим из уравнения $g' левая круглая скобка t правая круглая скобка = 0,$ или $3t в квадрате плюс 4t минус 15 = 0.$ Значит, $t = минус 3,$ $t = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ,$ откуда $a = g левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка = минус 36$ или $a = g левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 400, знаменатель: 27 конец дроби .$

г)  Пусть $с = десятичный логарифм b,$ тогда уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =f левая круглая скобка bx правая круглая скобка$ равносильно уравнению $g левая круглая скобка t правая круглая скобка =g левая круглая скобка t плюс c правая круглая скобка ,$ или, после упрощений,

$c левая круглая скобка 3t в квадрате плюс левая круглая скобка 3c плюс 4 правая круглая скобка t плюс c в квадрате плюс 2c минус 15 правая круглая скобка =0.$

После сокращения на c получаем уравнение, дискриминант которого равен $минус 3c в квадрате плюс 196,$ значит, оно имеет два решения при $|c| меньше дробь: числитель: 14, знаменатель: корень из 3 конец дроби ,$ одно при $|c|= дробь: числитель: 14, знаменатель: корень из 3 конец дроби ,$ ни одного при остальных значениях c. Случай $c=0$ особый (имеем тождество) и исключен по условию задачи.

Ответ: а) $левая квадратная скобка 10 в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка ; 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 10 в кубе ; плюс бесконечность правая круглая скобка ;$ б) $левая фигурная скобка 1; 10 в степени левая круглая скобка \pm корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента правая круглая скобка правая фигурная скобка ;$ в) $минус 36; дробь: числитель: 400, знаменатель: 27 конец дроби ;$ г) см. рис.

2048

а) $левая квадратная скобка 10 в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка ; 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 10 в кубе ; плюс бесконечность правая круглая скобка ;$ б) $левая фигурная скобка 1; 10 в степени левая круглая скобка \pm корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента правая круглая скобка правая фигурная скобка ;$ в) $минус 36; дробь: числитель: 400, знаменатель: 27 конец дроби ;$ г) см. рис.

Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 1

Классификатор: Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения и системы

Сложность: 11 из 10

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2048	а) $левая квадратная скобка 10 в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка ; 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 10 в кубе ; плюс бесконечность правая круглая скобка ;$ б) $левая фигурная скобка 1; 10 в степени левая круглая скобка \pm корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента правая круглая скобка правая фигурная скобка ;$ в) $минус 36; дробь: числитель: 400, знаменатель: 27 конец дроби ;$ г) см. рис.