PDF-версии: 
4. Дана функция 
а) Найдите координаты точек пересечения графика функции 
с осями координат.
б) Исследуйте функцию на монотонность.
в) Постройте график функции 
г) Длина диагонали осевого сечения цилиндра равна 
Найдите наибольший возможный объем такого цилиндра.
Решение. а) Нужно решить уравнение 
откуда 
тогда 
или 
Значит, точки пересечения с осью абсцис это (0; 0), 
Первая заодно будет точкой пересечения с осью ординат.
б) Возьмем производную функции
что положительно при 
и отрицательно при 
или 
Значит, 
убывает при 
возрастает при 
и убывает при 
в) Добавим еще несколько пунктов в исследование. Из предыдущего видно, что 
— точка минимума, а точка 
— точка максимума функции, 
Возьмем вторую производную 
что отрицательно при 
и положительно при 
Значит, функция выпукла вверх при и выпукла вниз при Точка будет точкой перегиба, 
Функция — кубический многочлен. Она определена везде и принимает все значения. Она нечетная. У нее нет асимптот. Осталось построить график.
г) Обозначим высоту цилиндра за h, а радиус основания за r. Тогда по условию
Объем конуса равен 
Это выражение отличается от исследовавшейся нами функции только постоянным множителем 
Поэтому оно возрастает при 
и убывает при 
так что максимальный объем цилиндра равен 
Ответ: а) 
б) убывает на 
возрастает на 
в) см. рис.; г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) убывает на возрастает на в) см. рис.; г) б) убывает на возрастает на в) см. рис.; г)