Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1967
i

1.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\log _2 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \log _2 левая круг­лая скоб­ка x минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Най­ди­те все зна­че­ния a такие, что x=11 яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =a.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =5.

в)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 5.

г)  Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =y, 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка минус 31 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка =32. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Под­ста­вим в функ­цию x=11:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 8 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 4=a рав­но­силь­но 3 плюс 2=a рав­но­силь­но a=5.

б)  За­пи­шем урав­не­ние в виде ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка =5 и пре­об­ра­зу­ем его:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка =5 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни 5 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 3x минус 7x плюс 21=32 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 10x минус 11=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 11 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0,

от­ку­да x=11 или x= минус 1 (по­сто­рон­ний ко­рень, ло­га­риф­мы в из­на­чаль­ном урав­не­нии не опре­де­ле­ны).

в)  За­пи­шем не­ра­вен­ство в виде ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 5 и пре­об­ра­зу­ем его

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 5 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 2 в сте­пе­ни 5 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 3x минус 7x плюс 21 мень­ше 32 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 10x минус 11 мень­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 11 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но минус 1 мень­ше x мень­ше 11.

Кроме того, x боль­ше 7 (иначе ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка в из­на­чаль­ном урав­не­нии не опре­де­лен).

г)  Решим сна­ча­ла урав­не­ние 4 в сте­пе­ни y минус 31 умно­жить на 2 в сте­пе­ни y =32. Обо­зна­чая 2 в сте­пе­ни y =t по­лу­чим

t в квад­ра­те минус 31t=32 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 31t минус 32=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 32 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t= минус 1,t=32. конец со­во­куп­но­сти .

Урав­не­ние 2 в сте­пе­ни y = минус 1 кор­ней не имеет. Урав­не­ние 2 в сте­пе­ни y =32 сво­дит­ся к 2 в сте­пе­ни y =2 в сте­пе­ни 5 рав­но­силь­но y=5. Тогда пер­вое урав­не­ние дает f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =5, от­ку­да x=11.

 

Ответ: а) a=5; б) левая фи­гур­ная скоб­ка 11 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в) левая круг­лая скоб­ка 7;11 пра­вая круг­лая скоб­ка ; г) левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 11;5 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1972

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 2001 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 5 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025