Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1967

1. Дана функция f(x)=\log _2(x минус 3) плюс \log _2(x минус 7).

а) Найдите все значения a такие, что x=11 является корнем уравнения f(x)=a.

б) Решите уравнение f(x)=5.

в) Решите неравенство f(x) меньше 5.

г) Решите систему уравнений  система выражений f(x)=y, 4 в степени (y) минус 31 умножить на 2 в степени (y) =32. конец системы .

Спрятать решение

Решение.

а) Подставим в функцию x=11:

 логарифм по основанию 2 8 плюс логарифм по основанию 2 4=a равносильно 3 плюс 2=a равносильно a=5.

б) Запишем уравнение в виде  логарифм по основанию 2 (x минус 3) плюс логарифм по основанию 2 (x минус 7)=5 и преобразуем его:

 логарифм по основанию 2 (x минус 3)(x минус 7)=5 равносильно (x минус 3)(x минус 7)=2 в степени 5 равносильно
 равносильно x в квадрате минус 3x минус 7x плюс 21=32 равносильно x в квадрате минус 10x минус 11=0 равносильно (x минус 11)(x плюс 1)=0,

откуда x=11 или x= минус 1 (посторонний корень, логарифмы в изначальном уравнении не определены).

в) Запишем неравенство в виде  логарифм по основанию 2 (x минус 3) плюс логарифм по основанию 2 (x минус 7) меньше 5 и преобразуем его

 логарифм по основанию 2 (x минус 3)(x минус 7) меньше 5 равносильно (x минус 3)(x минус 7) меньше 2 в степени 5 равносильно x в квадрате минус 3x минус 7x плюс 21 меньше 32 равносильно

 равносильно x в квадрате минус 10x минус 11 меньше 0 равносильно (x минус 11)(x плюс 1) меньше 0 равносильно минус 1 меньше x меньше 11.

Кроме того, x больше 7 (иначе  логарифм по основанию 2 (x минус 7) в изначальном уравнении не определен).

г) Решим сначала уравнение 4 в степени y минус 31 умножить на 2 в степени y =32. Обозначая 2 в степени y =t получим

t в квадрате минус 31t=32 равносильно t в квадрате минус 31t минус 32=0 равносильно (t плюс 1)(t минус 32)=0 равносильно совокупность выражений t= минус 1,t=32. конец совокупности .

Уравнение 2 в степени y = минус 1 корней не имеет. Уравнение 2 в степени y =32 сводится к 2 в степени y =2 в степени 5 равносильно y=5. Тогда первое уравнение дает f(x)=5, откуда x=11.

 

Ответ: а) a=5; б) \11\; в) (7;11); г) \(11;5)\.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1972

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 2001 год, вариант 1
? Классификатор: Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения и системы, Уравнения с параметром
?
Сложность: 5 из 10