PDF-версии: 
3.А. Дана функция 
а) Найдите уравнение касательной к графику функции 
в его точке с абсциссой 
б) Постройте график функции 
в) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
прямой 
осью Oy и лежащей в первой координатной четверти.
г) Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна 
см. Найдите наибольший объем такой пирамиды.
Решение. а) Вычислим сначала производную данной функции 
поэтому 
Кроме того 
поэтому уравнение касательной имеет вид 
или же 
— касательная горизонтальна.
б) Функция f(x) — кубический многочлен. Она определена везде и принимает все значения. Она нечетная. Записав ее в виде 
поймем, что ее корни 
и 
У нее нет асимптот. Ее производная 
отрицательна при 
и при 
и положительна при 
поэтому cама функция убывает при 
и при 
и возрастает при 
Следовательно, 
— ее точка максимума, а 
— ее точка минимума, 
Ее вторая производная 
положительна при 
и отрицательна при 
поэтому функция выпукла вверх при 
и выпукла вниз при 
Точка — ее точка перегиба, 
Осталось построить график.
в) Поскольку при функция выпукла вверх, то ее график лежит ниже касательной. Поэтому
г) Пусть ребро основания пирамиды SABCD равно 2x, а ее высота SO равна h, тогда
откуда 
Тогда объем пирамиды равен
и нам нужно найти наибольшее значение этой функции при 
Как мы уже знаем, эта функция возрастает при 
и убывает при 
поэтому ее наибольшее значение достигается при 
и равно 
Ответ: а) 
б) см. рис.; в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) см. рис.; в) г) б) см. рис.; в) г)