PDF-версии: 
2. Даны функции 
и 
а) Решите неравенство 
на промежутке 
б) Решите уравнение 
в) Исследуйте функцию 
на монотонность на промежутке 
г) Пусть K, M и N — точки графика функции 
с абсциссами 
соответственно. Докажите, что дуги AM и MN графика функции равны между собой.
Решение. Преобразуем исходные функции:
а) Запишем неравенство:
(поскольку cинус положителен на отрезке 
и при этом 
по условию).Итак, 
откуда 
Окончательно, учитывая условие 
получаем ответ 
б) Решим уравнение
в) Упростим выражение 
получим
Поскольку при 
выражение 
(и даже 
) неотрицательно, характер монотонности этой функции такой же, как у функции 
которая возрастает при 
(до достижения синусом значения 1) и убывает при 
г) Расcмотрим два числа, симметричных относительно 
Пусть это 
и 
Тогда
Это означает, что график функции 
симметричен относительно вертикальной прямой 
поэтому его дуги KM и MN симметричны друг другу и, следовательно, равны.
Ответ: а) 
б) 
в) на 
функция убывает; на 
— возрастает; г) прямая 
— ось симметрии 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) на функция убывает; на — возрастает; г) прямая — ось симметрии б) в) на функция убывает; на — возрастает; г) прямая — ось симметрии