№ 1872 
Санкт-петербургские выпускные экзамены. Углубленная программа. 1. Показательная и логарифмическая функции
i
1. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
в) Сравните числа 
и 
г) Укажите ординаты всех таких точек графика функции 
что для каждой из них расстояние от нее до другой точки графика функции 
с той же ординатой не меньше 4 и не больше 6.
Решение. Преобразуем исходную функцию:
а) Решим уравнение:
б) Решим неравенство:
в) Заметим, что функция
возрастает или убывает одновременно с функцией
поэтому она убывает при
и возрастает при
Поскольку
и
будет достаточно сравнить сами эти числа какое из них меньше, то и даст меньшее значение функции
Значит,
г) Если у двух точек графика одинаковые ординаты, значит, для двух различных значений аргумента функция принимает одинаковые значения. Очевидно, если 
то и 
то есть либо 
(тогда 
и это одна и та же точка), либо 
тогда 
Итак, аргументы с таким свойством должны быть связаны соотношением 
или иначе 
Условие задачи тогда запишется в виде 
(расстояние между точками графика измеряется по горизонтали, поскольку ординаты точек одинаковы).
Теперь нужно понять, какие ординаты могут быть у точек графика с такими абсциссами.
Ответ: 
Ответ: а) 
б) 
в) 
г) 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Задание парного варианта: 1867
