PDF-версии: 
2. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
на отрезке 
в) Найдите все пары чисел x и y, принадлежащие отрезку 
такие, что выполняются условия 
г) Найдите координаты всех точек графика функции 
имеющих абсциссу из отрезка 
и таких, что на расстоянии 
от них имеется точка графика функции 
с такой же ординатой.
Решение. а) Подставим и решим:
б) Аналогично пункту а) получим:
Уже зная корни каждого из множителей, достаточно воспользоваться методом интервалов.
в) Выведем систему:
Возможны два случая:
1) Если 
Но тогда, подставив во второе уравнение, получаем, что 
— но при таких значениях y первое уравнение не определено.
2) Если 
Но тогда, сократив, получаем, что 
— на данном промежутке это выполнено тогда и только тогда, когда 
Подставив во второе уравнение, получаем решенное выше. Ясно, что подходят лишь такие его корни, что
г) Ясно, что для решения задачи достаточно найти все решения уравнений 
и 
из промежутка 
и взять координаты соответствующих точек. Для этого найдем все x из этого промежутка такие, что выполняется какое-либо из равенств:
Ясно, что это только числа 
и 
Ответ:2. а) 
б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) г) б) в) г)