PDF-версии: 
3В. Дана функция 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Найдите промежутки монотонности функции 
г) Найдите все значения параметра a такие, что выполнение условия 
достаточно для выполнения неравенства 
Решение. а) Решим неравенство:
Первое неравенство (задающее ОДЗ исходного неравенства) имеет решение 
Второе сводится к
Совмещая это условие с предыдущим, получаем ответ 
б) Решим уравнение:
Одним из корней уравнения будет 
поэтому можно выделить в левой части множитель 
Получаем 
откуда 
и 
Теперь нужно проверить, что 
то есть что 
Сразу ясно, что 
поэтому этот корень посторонний. Остальные два очевидно подходят. Условие 
будет выполнено автоматически, его можно не проверять (поскольку 
).
Ответ: 
в) Поскольку 
графиком этой функции является гипербола с вертикальной асимптотой 
и такая функция возрастает на 
и на 
Значит, и выражение 
возрастает на тех частях этих промежутков, где определено. То есть 
возрастает на 
и на 
г) Фраза «выполнение неравенства 
достаточно для выполнения неравенства 
» означает, что для всех точек, где выполнено неравенство 
То есть a должно быть меньше любого значения функции на множестве 
Мы уже выяснили, что функция 
возрастает при 
и при 
Значит, возрастает при 
и при 
При этом
Значит, все ее значения на множестве 
будут больше 
при этом для 
можно подобрать значения, сколь угодно близкие к 
То есть 
подходят, а большие — нет.
Ответ: 
Ответ: а) 
б) 
в) на 
и на 
функция возрастает; г) 
.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
в) Поскольку графиком этой функции является гипербола с вертикальной асимптотой и такая функция возрастает на и на Значит, и выражение возрастает на тех частях этих промежутков, где определено. То есть возрастает на и на
г) Фраза «выполнение неравенства достаточно для выполнения неравенства » означает, что для всех точек, где выполнено неравенство То есть a должно быть меньше любого значения функции на множестве
Мы уже выяснили, что функция возрастает при и при Значит, возрастает при и при При этом
Значит, все ее значения на множестве будут больше при этом для можно подобрать значения, сколь угодно близкие к То есть подходят, а большие — нет.
Ответ: а) б) в) на и на функция возрастает; г) .
в) Поскольку графиком этой функции является гипербола с вертикальной асимптотой и такая функция возрастает на и на Значит, и выражение возрастает на тех частях этих промежутков, где определено. То есть возрастает на и на
г) Фраза «выполнение неравенства достаточно для выполнения неравенства » означает, что для всех точек, где выполнено неравенство То есть a должно быть меньше любого значения функции на множестве
Мы уже выяснили, что функция возрастает при и при Значит, возрастает при и при При этом
Значит, все ее значения на множестве будут больше при этом для можно подобрать значения, сколь угодно близкие к То есть подходят, а большие — нет.
Ответ: а) б) в) на и на функция возрастает; г) .