3В. Дано комплексное число 
а) Изобразите на чертеже множество всех таких комплексных чисел z, что 
б) Проверьте, являются ли числа a и 
корнями уравнения 
в) Изобразите на чертеже множество M всех комплексных чисел z таких, что 
г) Найдите наименьшее значение выражения 
для 
Решение. Пусть 
а) Имеем:
В левой части написано расстояние между точками z и 
Поэтому искомое множество — окружность с центром в 
и радиусом 
(cм. левый рисунок).
б) Получаем:
Подставим в данное уравнение 
не является корнем.Теперь подставим в данное уравнение 
является корнем.в) Последовательно получаем:
По условию, 
Это уравнение прямой 
(см. правый рисунок).
г) Заметим, что точки a и лежат по разные стороны от построенной прямой, поэтому соединяющий их отрезок пересекает эту прямую. Выражение 
— сумма расстояний от точки z до точек a и По неравенству треугольника она не меньше расстояния между точками a и 
равного 
и это значение достигается в точке пересечения данного отрезка и прямой из предыдущего пункта.
Ответ: 3В. а) см. рис. слева; б) число 
— корень уравнения; в) см. рис. справа; 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
— корень уравнения; в) см. рис. справа; — корень уравнения; в) см. рис. справа;