PDF-версии: 
Решите уравнение 
Решение. Задачу можно решить двумя способами.
1-й способ. Уравнение равносильно системе
2-й способ. Пусть 
где 
Тогда
где 
удовлетворяет условию 
не удовлетворяет условию 
Таким образом, t = 3, тогда 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
принадлежащие отрезку 
Оно распадается на два уравнения: 
и 
где k — целое число. Проведем отбор корней: 
тогда 
Число k — целое, значит, 
и на промежутке 
имеется три корня 
где k — целое. Рассмотрим первую серию корней, 
и выделим из них те, что принадлежат данному промежутку:
и 
Корни второй серии могут быть записаны с учетом четности 
и симметричности отрезка 
и 
в точке ее минимума.
и 
откуда следует (см. рис), что х = 0 — точка минимума. 
и 
тогда 
т. е. 
и 
тогда 
имеет 4 различных решения?
то уравнение (А) имеет четыре различных корня 
Более четырех корней уравнение (А) иметь не может, поскольку при 
и при 
это уравнение — квадратное. С другой стороны, если уравнение (А) имеет четыре различных корня, то они имеют вид u; −u; p; -p, и уравнение (Б) имеет два различных положительных корня |u| и |р|. Найдем зависимость корней уравнения (Б) от параметра а, вычислив дискриминант D уравнения (А):
и 
Отсюда получаем систему
означает, что абсцисса вершины графика квадратного трехчлена 
положительна. Условие 
— что этот график (парабола) пересекает ось Оу в верхней полуплоскости, а условие 
— что вершина параболы находится в нижней полуплоскости (см. рис.). Отсюда следует, что корни квадратного трехчлена f(t) положительны и различны, поскольку ветви параболы направлены вверх. Таким образом, мы доказали: для того чтобы уравнение (А) имело четыре различных корня, необходимо и достаточно выполнение условий 
а также 
Воспользовавшись выражением 
