PDF-версии: 
Дана функция 
а) При каком a прямая 
касается графика функции f?
б) Докажите, что 
в) Пусть 
Сколько решений (в зависимости от b) имеет уравнение 
г) Пусть 
и 
Докажите, что 
Решение. а) Если прямая касается графика данной функции в точке с абсциссой t, то 
и 
откуда 
и 
Из первого уравнения следует, что 
значит, 
б) Неравенство 
равносильно известному неравенству 
для доказательства которого введем вспомогательную функцию 
Так как
—
в) Сделав в данном уравнении замену 
и перейдя к соответствующему показательному уравнению, в котором для краткости записи положим 
получим уравнение 
у которого нам надо исследовать число его положительных решений. Дискриминант 
полученного уравнения положителен при 
г) Имеем:
так как 
Ответ: 
два — при 
не имеет решений при 
два — при не имеет решений при два — при не имеет решений при 
таких что данная система имеет решение.
и сложив полученные в результате уравнения, получим, что 
Если 
то 
Если 
то 
После преобразований, аналогичных проделанным в предыдущем пункте, получим, что 
—
и 
Данное уравнение приобретает вид 
и поставленный вопрос можно переформулировать следующим образом: «При каком условии на c существуют такие комплексные числа z, 
и w, 
что 
» Ответ следует из геометрического представления сложения комплексных чисел как сложения векторов по «правилу треугольника» и из условий существования треугольника: такие числа z и w найдутся тогда и только тогда, когда 
(кольцо).
В следующих далее формулировках мы для краткости будем отождествлять комплексные числа с их изображениями как точек плоскости.
Верно ли, что при всех 
корни многочлена 
лежат на единичной окружности?
и 
Найдите наименьшее значение модуля разности корней многочлена 
при 
Докажите, что 
при всех 
многочлена 
так 
и положим 
Тогда 
т. е. 
— произвольных точек единичного круга — ближайшей к точке 4 является точка 1.
Тогда 
Далее, так как 
и 
то 
Следовательно, 
не лежит на единичной окружности, в частности, 
Рассмотрим квадрат, центром которого является точка u, а одна из вершин которого (обозначим ее 
) лежит на единичной окружности. В силу выбора точки u верны неравенства 
С другой стороны, по доказанному в предыдущем пункте, 
так что 
в частности, 
Отсюда следует, что 
— противоречие.
для которых 
Вычислите 
то последовательность 
монотонна.
всех чисел, которые не могут являться начальными членами 
таких (бесконечных) последовательностей.
Общую формулу 
легко доказать по индукции. 
то 
поэтому 
при всех 
Отсюда следует, что неравенство 
равносильно неравенству 
которое очевидно верно, так как 
при некотором 
тогда 
не существует! Чтобы найти все такие значения начальных членов, перепишем рекуррентное соотношение в виде 
положив 
то последовательность стационарна; 
мы также получаем монотонную последовательность. Если 
то 
поэтому последовательность не монотонна. Итак, пусть 
причем 
Нетрудно доказать, что если 
так что 
таким образом мы снова получаем не монотонную последовательность.
в) 
г) 
). Обозначим через 
где 
вероятность того, что через n секунд устройство будет находится в состоянии x; в начальный момент оно находится в состоянии a.
Тогда 
Действительно, на n-й секунде устройство будет находится в состоянии x тогда и только тогда, когда на предыдущей секунде оно находилось в одном из двух других состояний (вероятность чего равна 
) из которых оно и перешло в x (с вероятностью 
при 
Именно 
и 
Докажем приведенную формулу (доказательство двух других аналогично).
число 
а переходам в обратном направлении — 
— 
длины n. Предположим, что в некоторой такой последовательности встречаются k штук 
Нетрудно понять, что последнее состояние совпадает с первым тогда и только тогда, когда 
(mod 3),
(mod 3)
(mod 3).
встречается k раз, равно 
б) нет.