PDF-версии: 
Дана функция 
а) Пусть 
Решите уравнение 
б) Пусть 
Решите неравенство 
в) Найдите все a, при которых функция f монотонна на луче 
г) Найдите все a, при которых существует b, такое что уравнение 
не имеет решений.
Решение. а) Сделаем сразу замену 
Тогда 
т. е. 
и уравнение принимает вид
отсюда 
Тогда
Домножим уравнение на 4 и вспомним, что 
получим
б) Обозначим теперь 
тогда 
и неравенство примет вид
при 
впрочем, на самом деле 
Тогда
Сократим неравенство на 
не забыв при этом исключить из будущего ответа 
тогда
ведь 
на него можно умножить. Тогда 
но 
то есть 
отсюда 
или 
в) Поскольку 
— монотонно возрастающая функция, принимающая значения на луче 
при 
можно исследовать на монотонность функцию 
Ее монотонность равносильна монотонности 
Возьмем производную этой функции. Она должна быть знакопостоянна на луче 
Знаменатель положителен всегда. Осталось разобраться с числителем. Если 
то
при 
производная отрицательна, функция убывает. Если 
то 
— квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом, поэтому он положителен при больших t. Для его положительности на всем луче нужно, чтобы он был либо положителен в точке 
(если она лежит на луче), либо неотрицателен в точке если 
на луче не лежит. При 
реализуется первый случай, поскольку 
Подставим 
тогда
поэтому первый случай не подходит. При 
реализуется второй случай. Подставим тогда
поэтому второй случай подходит. Окончательно 
г) Cделав все ту же замену 
(иначе обнуляется знаменатель) получим уравнение
При 
получаем 
поэтому при положительных a, 
и 
можно взять на роль b число 0 — для него у исходного уравнения решений не будет. Для всех остальных a при решения будут. Начиная с этого момента нас интересуют только отрицательные a кроме 
При прочих b это квадратное уравнение. Если 
то его дискриминант равен 
а произведение корней по теореме Виета равно 
значит, один из корней будет положительным, причем он не может быть равен 1 (при 
получим 
что верно только при 
а им мы и так уже не занимаемся). Итак, у этого уравнения корень будет.
Если же b отрицательно, то сумма корней равна 
поэтому если корни есть, то положительные среди них будут. Остается единственная возможность — сделать дискриминант отрицательным. Итак, вопрос свелся к следующему — при каких отрицательных a найдется отрицательное b, для которого
Наименьшее значение этот квадратный трехчлен принимает при 
Значит, при 
вершина параболы 
находится правее оси ординат, наименьшее значение на отрицательной полуоси он принимает при и равно оно 
поэтому при таких a дискриминант всегда положителен. Наконец при 
подставим 
итого
что отрицательно при — это еще один подходящий промежуток. Окончательно 
Ответ: а) 
для которых 
имеет ровно два решения на отрезке 
при всех 
при 
поэтому неравенство сводится к 
Поскольку 
, 
и 
при 
получаем ответ 
и преобразуем его. Пусть 
тогда 
и
тогда 
т. е. 
при 
Либо 
Обозначая 
получим 
отсюда 
возможен только вариант 
это число меньше 1, как и корень из него, поэтому уравнение 
имеет решения, а именно 
при 
получим 
При этом на каждом из промежутков 
и 
функция 
принимает все свои значения по одному разу (значение 
она принимает на них в сумме один раз). Поэтому она не должна принимать значение 
на промежутках 
и 
На этих промежутках она принимает все свои неотрицательные значения, кроме значения 1. Поэтому остаются варианты 
Уравнение сводится к 
т. е. 
где 
Окончательно 
или 
В левой части получим 0, поскольку 
В правой части получим 
и 
при 
такие что 
подходят, а при 
получаем:
Для этого заметим, что на отрезке 
оно очевидно выполнено, на луче 
эквивалентно неравенству 
эквивалентно неравенству
на луче 
То есть функция f возрастает на луче 
и убывает на луче 
Также 
Заметим теперь, что:
на отрезке 
Но отсюда очевидно требуемое.
то есть 
очевидно подходит. При остальных k получаем, что 
Но тем самым 
и 
Но корень из целого числа — число либо целое, либо иррациональное, поэтому, так как 
Но 
Остается найти целые решения уравнений 
точку плоскости, соответствующую комплексному числу z. Рассмотрим точки 
i = 1, 2, 3, где 
и 
то точки 
i = 1, 2, 3, лежат на одной прямой.
и 
то треугольник 
— прямоугольный (O — начало координат).
Найдите наибольшее значение отношения площадей треугольников 
— середина отрезка 
Тогда 
(по условию 
) 
Вектор 
имеет координаты 
а вектор 
— координаты 
Таким образом, скалярное произведение 
таким образом, 
Но из рисунка справа ясно, что наибольшее значение выражения 
достигается, если 
лежит на касательной, проведенной из точки O к окружности, задаваемой уравнением 
Легко видеть, что при этом значение 
равно 
виден из точек O и 
под равными углами и отрезок 
виден под равными углами из точек O и 
Но покажем, например, первое (второе аналогично). Для этого достаточно показать, что 
или 
то все данные точки лежат на одной прямой. Однако:
— комплексные корни многочлена pn. Докажите, что 
Очевидно, что уравнение 
имеет вещественный корень, отличный от 1, только если 
— четное число. Следовательно, число n — нечетное.
если все корни последнего многочлена, 
Но это означает, что 
— очевидно верно.
