PDF-версии: 
Найдите общие точки графика функции 
и прямой 
В каких из этих точек прямая является касательной к графику?
Решение. Приравняв правые части данных функций, найдем абсциссы точек пересечения их графиков:
Так как сумма коэффициентов многочлена равна нулю, то один из его корней равен 1. Для того, чтобы найти другие корни, воспользуемся схемой Горнера:
| 1 | 4 | -2 | -12 | 9 | |
| 1 | 1 | 5 | 3 | -9 | 0 |
| 1 | 1 | 6 | 9 | 0 | |
| -3 | 1 | 3 | 0 | ||
| -3 | 1 | 0 |
Итак, получили две точки пересечения графиков: 
и 
Чтобы проверить, в каких из этих точек прямая 
является касательной к графику функции, составим уравнение касательной в точке с абсциссой 
Уравнение касательной в точке с абсциссой 
запишется в виде 
откуда 
Уравнение касательной в точке с абсциссой 
запишется в виде 
откуда
Следовательно, в обеих точках прямая является касательной к графику.
Ответ: и 
в обоих точках прямая является касательной к графику.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и в обоих точках прямая является касательной к графику. и в обоих точках прямая является касательной к графику.