Определите, при каких значениях параметра a уравнение 
имеет ровно два корня.
Решение. Рассмотрим функцию 
Уравнение третьей степени имеет ровно два корня, если данная функция обращается в ноль в двух различных точках. Это возможно только тогда, когда один из экстремумов (минимум или максимум) функции f(x) равен нулю. Найдем, при каких значениях a достигается это равенство. Функция f(x) определена и дифференцируема на всем множестве действительных чисел. Найдем ее производную: 
Решим уравнение 
получим
Числа 2 и −3 являются точками экстремумов. Найдем при каких значениях a экстремумы равны нулю. Рассмотрим тогда два случая 
и 
Первый: при 
имеем 
тогда 
Второй: при 
имеем 
тогда 
Ответ: при 
и при
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и при и при