PDF-версии: 
При каких значениях параметра a уравнение 
имеет ровно два различных корня?
Решение. Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Уравнение третьей степени имеет ровно два корня, если есть корень кратности 2, т. е. функция 
имеет или минимум, равный нулю (рис. а), или максимум, равный нулю (рис. б). Найдем, при каких значениях a экстремумы равны нулю. Функция определена и дифференцируема на всем множестве действительных чисел: 
Решив уравнение 
найдем точки экстремумов:
Тогда 
откуда имеем 
при 
И 
откуда имеем 
при 
Ответ: при 
и при
Ⅱ способ. Рассмотрим многочлен 
Многочлен 3-й степени может иметь не более трех разных корней. Так как по условию должно быть ровно два различных корня, то один из корней будет иметь кратность 2, т. е. 
где b и c — корни многочлена; 
где b и c — корни многочлена. Преобразуем к стандартному виду. Для этого воспользуемся методом неопределенных коэффициентов и, сопоставляя коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:
Из равенства (1) имеем 
тогда уравнение (2) примет вид:
Подставив найденные знамения в уравнение (3), получим: при 
и 
параметр равен 
при 
и 
параметр равен 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и при и при