При каких значениях параметра a уравнение 
не имеет корней?
Решение. Пусть 
где 
Тогда получаем
Следовательно, задачу можно сформулировать следующим образом: при каких значениях параметра a данное квадратное уравнение не имеет корней на отрезке 
Рассмотрим функцию 
Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Рассмотрим возможные случаи расположения графика (см. рис.).
| а) | б) | ||
| в) | г) |
a) Парабола лежит выше оси абсцисс, уравнение (1) корней не имеет, дискриминант 
меньше нуля. Тогда
б) График пересекает ось Ox, но нули функции лежат левее −1, т. е. корни уравнения (1) не входят в рассматриваемый отрезок. Это возможно при выполнении следующих условий: 
и 
и 
где 
является вершиной параболы. Решим систему, составленную из этих неравенств. Получим
в) Парабола пересекает ось, но нули функции лежат правее единицы. Это возможно, когда одновременно 
и 
Решим систему
г) График пересекает ось, но нули функции лежат по разные стороны рассматриваемого отрезка. Это возможно в случае 
и 
Так
Итак, уравнение не имеет корней при 
и 
Ответ: при и
Замечание. Некоторые учащиеся формально заменили 
на t и, получив квадратное уравнение, рассмотрели только один случай с отрицательным дискриминантом. Такое решение следует считать неверным, поскольку оно не учитывает ограниченности функции 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и и