PDF-версии: 
Найдите те первообразные функции 
графики которых имеют с графиком функции 
ровно две общие точки.
Решение. Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Пусть 
искомая первообразная. Тогда уравнение 
должно иметь ровно два различных корня, т. е. функция 
должна принимать значение 0 ровно в двух различных точках, так
Найдем критические точки функции 
Решим
Отсюда следует, что 
на 
и 
на 
Так как 
— многочлен 3-й степени, то, таким образом, на 
функция возрастает от 
до значения 
на 
функция убывает от значения 
до значения 
на 
функция возрастает от значения 
до 
Следовательно, функция принимает каждое из значений и ровно два раза, а остальные значения — либо один, либо три раза. Таким образом, необходимо и достаточно
Поскольку, как известно,
где с — некоторое постоянное число, мы получаем
и 
Ответ: 
и 
Ⅱ способ. Первообразная функции принимает вид
Изучаемое уравнение
Многочлен в левой части уравнения (1) должен иметь два различных корня, т. е. разлагаться на множители в виде
Таким образом, необходимо и достаточно, чтобы
Отсюда получаем совокупность двух систем
Таким образом, получаем два значения величины с и, соответственно, две первообразные, т. е. тот же ответ, что и в первом способе.
Замечание. Рассмотренная работа вполне соответствует программным требованиям и не громоздка. Может вызвать, впрочем, некоторое удивление «неэквивалентность» заданий 4 в первом и втором вариантах. (Возможно, в первом варианте вместо условия 
надо было предложить 
либо во втором варианте вместо 
— условие 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и и