При каких значениях параметра b уравнение 
имеет единственное решение? Найдите это решение.
Решение. Задачу можно решить тремя способами.
Ⅰ способ. Построим графики обеих частей исходного уравнения. На рисунке даны примеры графиков левой части для 
также 
и 
Будем изменять параметр b от − ∞ до + ∞. На рис. 1 видно, что при 
графики обеих частей исходного уравнения не пересекаются, т. е. уравнение не имеет решений. При
уравнение имеет одно решение, это абсцисса точки пересечения графика функции 
с левой ветвью графика функции 
т. е. с той, для которой 
и, следовательно, исходное уравнение принимает вид 
Отсюда 
При 
оба графика пересекаются в двух точках.
Ответ: при 
уравнение имеет единственное решение: 
Ⅱ способ. Введем функцию 
Задачу можно переформулировать следующим образом: «Определить все значения параметра b, при которых функция g имеет единственный корень, и найти этот корень». Рассмотрим графики функции g при различных значениях параметра b. При х = 3 имеем g = −4. Раскроем модуль в выражении, которое задает функцию g:
На рисунке представлены примеры графиков функции g для 
также и Будем изменять параметр b от − ∞ до + ∞. При этом, как видно из выражений для угловых коэффициентов в формулах (А) и (Б), каждая ветвь графика постепенно поднимается снизу вверх. При 
обе ветви направлены вниз (см. график, изображенный сплошной толстой линией на рис. 2) и, в силу (Б), с осью Ох не пересекаются. Поэтому функция g не имеет корней. При 
(крупный штрих на рис. 2) левая ветвь параллельна оси Ох, а правая направлена вниз. Значит, у функции g корней нет. При 
левая ветвь пересекается с осью Ох. В качестве примера на рисунке дан график функции g для 
(частая штриховка). При 
правая ветвь направлена вниз, а левая пересекает ось Ох, т. е. функция g имеет единственный корень. То же самое — при b = 1, когда правая ветвь горизонтальна (линия штрих-пунктир на рисунке). При правая ветвь тоже пересекается с осью Ох.
Мы видим, что единственный корень получается при 
и при пересечении левой ветви с осью Ох, откуда получаем тот же ответ, что и раньше.
Ⅲ способ. Рассматривая линейные функции (А), (Б), получаем, что левая ветвь графика функции g пересекает ось Ох при 
а правая ветвь — при 
Таким образом, единственность корня функции g обеспечивается следующей совокупностью систем неравенств:
Первая система данной совокупности несовместна. Вторая из записанных систем имеет решение 
Заметим: неравенство 
означает, что единственный корень функции g получается в результате пересечения левой ветви графика с осью Ох, откуда получаем тот же ответ.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
уравнение имеет единственное решение: уравнение имеет единственное решение: