При каких значениях параметра a уравнение 
имеет единственное решение? Найдите это решение.
Решение. Эту задачу можно решить двумя способами.
Ⅰ способ. Рассмотрим сначала случай, когда 
Тогда исходное уравнение принимает вид
При a = 1 это уравнение не имеет корней 
а при 
корнем уравнения является 
(А). Необходимо теперь выделить множество тех значений параметра а, для которых выражение (А) удовлетворяет условию
Рассмотрим неравенство
Из последнего выражения ясно, что 
Итак, на множестве
значений переменного х исходное уравнение при 
не имеет решений; при 
имеет единственное решение (А). Рассмотрим теперь случай 
Исходное уравнение принимает вид 
При 
имеет корень 
(Б). Теперь проверим выполнение условия 
т. е. 
Таким образом, на множестве 
значений переменного х исходное уравнение при не имеет решений; при 
имеет единственное решение (Б). Рассматривая в делом результаты для случаев 
и 
получаем, что исходное уравнение при 
не имеет решений; при 
имеет единственное решение (Б); при имеет два решения (А) и (Б).
Ответ: при 
уравнение имеет единственное решение: 
Ⅱ способ. Очевидно, x = 1 не является решением исходного уравнения ни при каком значении 
Поэтому достаточно рассмотреть это уравнение на множестве 
значений переменного х. Пусть 
— какой−либо корень исходного уравнения. Тогда 
(В). Обратно, пусть выполняется соотношение (В) для некоторых двух значений параметра и неизвестного. Тогда при этом значении параметра величина х — один из корней исходного уравнения. В частности, если x1 и x2 — корни исходного уравнения при некотором значении параметра a0, то 
и 
Отсюда следует, что множество искомых значений параметра состоит из таких чисел a0, для каждого из которых график функции (В) пересекается прямой a = a0 ровно в одной точке (на плоскости 
График функции (В) состоит из ветвей двух различных гипербол (рис. 1): 
при 
и при 
Горизонтальная асимптота правой ветви графика — прямая x = 1, левой ветви — прямая x = −1. На графике видно, что прямая a = a0 пересекает его ровно в одной точке при 
Единственный раз прямая a = a0 пересекает график функции (В) в его левой части, которая задается уравнением 
откуда 
Таким образом, перед нами тот же ответ, что и полученный 1-й способом. (Ясно, что здесь a0 — вспомогательное обозначение для параметра а).
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
уравнение имеет единственное решение: уравнение имеет единственное решение: