Ре­ше­ние. За­пи­шем общий вид пер­во­об­раз­ных g(x) на ℝ: Те­перь за­да­чу можно пе­ре­фор­му­ли­ро­вать: «Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра c, при ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно два раз­лич­ных корня». Урав­не­ние при­во­дит­ся к виду Раз­бе­рем два спо­со­ба для от­ве­та на по­став­лен­ный во­прос.

Ⅰ  спо­соб. Рас­смот­рим функ­цию не­пре­рыв­ную и диф­фе­рен­ци­ру­е­мую на ℝ, при и при Таким об­ра­зом, f(x) воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ках и а на от­рез­ке функ­ция убы­ва­ет. Воз­рас­тая на f(x) при­ни­ма­ет по од­но­му разу все зна­че­ния из про­ме­жут­ка т. е. Убы­вая нa про­ме­жут­ке функ­ция при­ни­ма­ет по од­но­му разу все зна­че­ния из от­рез­ка по­лу­чим На про­ме­жут­ке функ­ция f(x) воз­рас­та­ет и при­ни­ма­ет по од­но­му разу все зна­че­ния, не мень­шие −8. Таким об­ра­зом, f(x) при­ни­ма­ет по два раза толь­ко два зна­че­ния: и  —8. От­сю­да на­хо­дим c:

или т. е. В от­ве­те по­лу­ча­ем две пер­во­об­раз­ные.

Ответ: и

Ⅱ  спо­соб. За­ме­тим, что для того, чтобы ку­би­че­ское урав­не­ние где имело ровно два корня, не­об­хо­ди­мо, чтобы мно­го­член можно пред­ста­вить в виде Тогда функ­ция и ее про­из­вод­ная имели бы общий ко­рень. В нашем слу­чае ее про­из­вод­ная кор­ня­ми про­из­вод­ной яв­ля­ют­ся и Для того чтобы эти числа были кор­ня­ми функ­ции f(x), не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы т. е. или т. е.

При таком спо­со­бе ре­ше­ния не­об­хо­ди­мо еще убе­дить­ся, что урав­не­ние при дан­ных зна­че­ни­ях c имеет имен­но два раз­лич­ных корня, т. е. еще один по­ми­мо при а также еще один по­ми­мо 2 при

За­ме­ча­ние. Вто­рой спо­соб могут пред­ло­жить уча­щи­е­ся, за­ни­ма­ю­щи­е­ся в круж­ках или на фа­куль­та­ти­вах, или изу­ча­ю­щие особо тео­рию мно­го­чле­нов.