РЕШУ УРОК — выпускные экзамены по математике

Задания

Решите систему уравнений

$система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате y плюс логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 2 y минус 2 логарифм по основанию 2 в квадрате x=0,9x в квадрате y минус xy в квадрате =1. конец системы .$

Решение. Первое уравнение системы является однородным относительно $логарифм по основанию 2 x$ и $логарифм по основанию 2 y.$ Покажем несколько способов преобразования этого уравнения к более простому виду.

Ⅰ  способ. Проверим, что $x=1$ (корень уравнения $логарифм по основанию 2 x=0 правая круглая скобка$ но удовлетворяет системе ни при каких y. Действительно, если $x=1,$ то $логарифм по основанию 2 x=0,$ следовательно, $логарифм по основанию 2 y=0$ и $y=1.$ Но пара $левая круглая скобка 1; 1 правая круглая скобка$ не удовлетворяет второму уравнению. Поделим обе части первого уравнения на выражение $логарифм по основанию 2 в квадрате x,$ не принимающее значение ноль, при $x не равно 1.$ Получим

$левая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 2 y, знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: логарифм по основанию 2 y, знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби минус 2=0.$

Обозначив выражение $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 y, знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби$ через t, придем к уравнению $t в квадрате плюс t минус 2=0,$ откуда $t=1$ или $t= минус 2.$ Если $t=1,$ то $логарифм по основанию 2 x= логарифм по основанию 2 y$ и $x=y,$ при $x больше 0.$ Если $t= минус 2,$ то $логарифм по основанию 2 y плюс 2 логарифм по основанию 2 x=0$ и $yx в квадрате =1,$ при $x больше 0.$ Далее решаем две системы. Система первая

$система выражений x=y,9x в квадрате y минус xy в квадрате =1, x больше 0 конец системы . равносильно система выражений y=x,8x в кубе =1, x больше 0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец системы .$

Система вторая

$система выражений x в квадрате y=1,9x в квадрате y минус xy в квадрате =1, x больше 0 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате y=1,xy в квадрате =8, x больше 0 конец системы . равносильно система выражений y= дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: x в кубе конец дроби =8, x больше 0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,y=4. конец системы .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 4 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Покажем иные способы получении равенств $x=y,$ при $x больше 0$ и $yx в квадрате =1,$ при $x больше 0.$

Ⅱ  способ. Положим $логарифм по основанию 2 x=a умножить на логарифм по основанию 2 y.$ Получим $логарифм по основанию 2 в квадрате y плюс a умножить на логарифм по основанию 2 в квадрате y минус 2a в квадрате логарифм по основанию 2 в квадрате y=0,$ откуда $логарифм по основанию 2 в квадрате y умножить на левая круглая скобка 1 плюс a минус 2a в квадрате правая круглая скобка =0.$ Если $логарифм по основанию 2 y=0,$ то $логарифм по основанию 2 x=0$   — получаем пару $левая круглая скобка 1; 1 правая круглая скобка ,$ не являющуюся решением системы. Если $логарифм по основанию 2 y не равно 0,$ то $1 плюс a минус 2a в квадрате =0,$ получим $a=1$ или $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда получаем уже знакомые соотношения: $x=y$ или $x в квадрате y=1.$

Ⅲ  способ. Сгруппируем слагаемые в левой части первого уравнения:

$логарифм по основанию 2 в квадрате y плюс логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 2 y минус 2 логарифм по основанию 2 в квадрате x= логарифм по основанию 2 в квадрате y минус логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 2 y плюс 2 логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 2 y минус 2 логарифм по основанию 2 в квадрате x=$ $логарифм по основанию 2 в квадрате y плюс логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 2 y минус 2 логарифм по основанию 2 в квадрате x=$
$= логарифм по основанию 2 в квадрате y минус логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 2 y плюс 2 логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 2 y минус 2 логарифм по основанию 2 в квадрате x=$

$= логарифм по основанию 2 y левая круглая скобка логарифм по основанию 2 y минус логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 логарифм по основанию 2 x левая круглая скобка логарифм по основанию 2 y минус логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка = левая круглая скобка логарифм по основанию 2 y плюс 2 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 y минус логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка ,$ $= логарифм по основанию 2 y левая круглая скобка логарифм по основанию 2 y минус логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 логарифм по основанию 2 x левая круглая скобка логарифм по основанию 2 y минус логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка логарифм по основанию 2 y плюс 2 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 y минус логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка ,$

откуда $x в квадрате y=1$ или $x=y.$

Ⅳ  способ. Сделаем замену переменных $логарифм по основанию 2 y=a$ и $логарифм по основанию 2 x=b.$ Рассмотрим уравнение $a в квадрате плюс ba минус 2b в квадрате =0$ как квадратное относительно a. Его дискриминант равен 9b², а корни вычисляются как $a_1, 2= дробь: числитель: минус b \pm 3b, знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда $a= минус 2b$ или $a=b,$ т. е. $логарифм по основанию 2 y= минус 2 логарифм по основанию 2 x$ или $логарифм по основанию 2 y= логарифм по основанию 2 x.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3407	$левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 4 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Ключ