Найдите все a, при которых уравнения 
и 
имеют хотя бы один общий корень.
Решение. Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Найдем все корни первого уравнения:
где 
Последнюю серию удобно представить в виде двух серий: 
и 
(k1, k2 — целые). Если 
то 
и 
При четных k1 выражение 
принимает значение 
при нечетных 
Если 
то 
если k2 — четное; 
при нечетных k2. Таким образом, возможные значения a: 
−1 и 1.
Ответ: 
Ⅱ способ. Если 
то 
Подставив выражение 
вместо 
в уравнение 
получим 
Используя основное тригонометрическое тождество, получим уравнение относительно a: 
a после подстановки 
перейдем к уравнению 
Отсюда 
или 
тогда 
и 
Если теперь сразу записать ответ, то можно допустить логическую ошибку, ведь при переходе от уравнения к уравнению 
мы фактически перешли от уравнения к его следствию (такой же характер имел переход от уравнений и 
к уравнению 
Появилась возможность приобретения посторонних значений a. Поэтому необходимо убедиться, что для каждого из найденных a существует х, удовлетворяющий обоим данным уравнениям.
Проверим: при 
такое значение х существует 
при 
получаем соответствующие значения x: 
и 
Таким образом, все найденные значения a подходят.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |