PDF-версии: 
Исследуйте функцию 
на возрастание и убывание на промежутке 
Решение. Найдем производную данной функции и те значения х, при которых она равна нулю: 
тогда 
если 
т. е. 
Последнее уравнение, очевидно, равносильно совокупности уравнений: 
и 
Из первого уравнения получаем 
где 
из второго 
где 
Hа отрезке
расположены следующие критические точки: 
разбивающие рассматриваемый отрезок ни три части. Определим знаки производной 
на каждом из образовавшихся промежутков (см. рис.):
тогда 
и 
Ответ: функция f(x) возрастает на промежутках 
и убывает на промежутке 
Замечание. Необходимо обратить внимание на следующий момент: функция f(x) определена и дифференцируема на ℝ, поэтому точки 
и 
должны быть рассмотрены как критические точки из промежутка Если бы функция была задана только на промежутке 
то точки и не могли рассматриваться как критические, поскольку не являлись бы внутренними точками области определения. В этом случае вопрос о включении концов в промежутки монотонности был бы более сложным.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и убывает на промежутке и убывает на промежутке