На графике функции 
найдите точку, ближайшую к точке 
Решение. Запишем формулу, задающую функцию, в виде
и изобразим ее график на координатной плоскости (см. рис.).
Ⅰ способ. Пусть 
— ближайшая к A точка графика. Тогда
Расстояние AB минимально при том же значении 
при котором минимально значение 
Исследуем квадратный трехчлен 
Его наименьшее значение достигается при 
Таким образом, 
принимает минимальное значение при 
тогда 
т. е. 
Ответ: ближайшая точка
Ⅱ способ (геометрический). Искомая точка B является основанием перпендикуляра, проведенного из точки A к прямой MF; 
(угловой коэффициент прямой). Из 
и 
(см. рис.) имеем 
отсюда 
Абсцисса точки B равна 
а ее ордината равна 
Таким образом, координаты искомой точки 
Ⅲ способ. Уравнение прямой, проведенной через точку A перпендикулярно прямой 
есть 
Найдем точку пересечения этих прямых:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |