PDF-версии: 
Существует ли касательная к графику функции 
имеющая с графиком ровно две общие точки? Если да, напишите ее уравнение.
Решение. При 
при 
Такая прямая должна либо касаться обеих парабол, либо касаться одной из них, а вторую пересекать ровно один раз. Второе произойти не могло.
В самом деле, если она касается 
при 
то ее угловой коэффициент отрицателен, поэтому она не могла войти снизу в область над второй половиной графика.
Если она касается 
при 
то аналогично ее угловой коэффициент положителен, поэтому она не могла прийти из области над первой половиной графика.
При 
касательной нет, при 
она горизонтальна и имеет лишь одну общую точку с графиком.
Наконец при 
ее уравнение имеет вид 
Значит, ее угловой коэффициент отрицателен, а точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты 
и лежит потому левее начала координат, поэтому такая прямая тоже не могла прийти из области над первой половиной графика.
Теперь найдем общую касательную. Пусть это 
Тогда уравнения 
и 
должны иметь по одному корню. Тогда дискриминанты уравнений 
и 
должны быть нулями. Итак, 
и 
Вычитая эти уравнения, находим 
тогда 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |