PDF-версии: 
Найдите все отрицательные a, для каждого из которых касательные к параболе 
проведенные через точку оси Oy с ординатой a, высекают на оси Ox отрезок длины 4.
Решение. Пусть 
— искомая точка на оси Oy, 
Отыщем точку 
на графике функции, являющаяся точкой касания графика и касательной. Производная функции 
Уравнение касательной PQ есть
Поскольку точка Q принадлежит касательной, то 
Выразим из этого уравнения 
через a, получим
и мы получаем абсциссы двух точек касания 
Таким образом, при любом a<0 имеются две касательные к графику исходной функции. Обозначим точки пересечения каждой из этих касательных с осью Ox соответственно через 
Из уравнения (1) касательной с учетом (2) следует, что
Высекаемый на оси абсцисс отрезок — 
а его длина есть
По условию 
Ответ: 
Замечание.
В задачах на касательные к параболам 
гиперболам 
и к некоторым другим кривым можно, как правило, обойтись вообще без производных. Для таких кривых корректно другое определение касательной: прямая вида 
(для гиперболы 
), имеющая с данной кривой единственную общую точку, называемую точкой касания.
Приведем соответствующее решение рассматриваемого задания.
Другое решение.
Пусть — искомая точка, Уравнение касательной к графику данной функции, содержащей точку P, есть 
Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение
Его дискриминант
Уравнение (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда 
(критерий единственности решения)
Очевидно, что 
По теореме Виета 
поэтому 
и 
Таким образом, при любом 
имеются две различные касательные к графику исходной функции, проходящие через точку 
а) При k=k_1 уравнение касательной есть
Касательная пересекает ось Ox в точке с координатой 
определяемой из уравнения
б) При 
уравнение касательной
Она пересекает ось Ox в точке с координатой
Нетрудно показать, что 
и 
Высекаемый на оси абсцисс отрезок имеет длину
По условию 
откуда
Ответ:
Приведем еще одно решение.
Для вычисления абсциссы точки касания можно использовать метод, изложенный выше в 1 способе. Однако здесь мы применим другой метод. Пусть 
и уравнение касательной есть Поскольку касательная лежит ниже рассматриваемой параболы (за исключение только точки касания), то функция 
положительна при 
и 
Очевидно, что 
— квадратичная функция, с коэффициентом 1 при 
Отсюда следует, что 
С другой стороны 
следовательно, 
откуда получаем, что имеются две точки касания (K и L на рисунке 92). Их абсциссы
— искомая точка на оси Oy, 
касательные PK и PL пересекает ось Ox в точка M и N. Обозначим через 
углы PNM и PMN соответственно. Дальнейшие выкладки не требуют дополнительных комментариев. Имеем:
В итоге получаем, что откуда
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |