PDF-версии: 
Докажите, что функция 
является одной из первообразных функции 
Найдите ту первообразную функции 
наибольшее значение которой на отрезке 
равно 0.
Решение. Найдем производную функции 
Найдем наименьшее значение 
на отрезке 
Нули производной на интервале 
являются корнями уравнения
Так как 
то 
то есть 
Отсюда получаем, что 
Таким образом, имеются четыре критические точки 
Рассмотрим, какие знаки имеют значения функции 
в интервалах между критическими точками. Множитель 
положителен на интервале 
множитель 
меняет знак в точке 
и положителен в окрестности нуля. Множитель 
в каждой из остальных трех критических точек и положителен при небольших положительных значениях x. В итоге, применяя метод интервалов, получаем распределение знаков, показанное на рисунке.
Из этого рисунка видно, что наименьшее значение функции на рассматриваемом отрезке достигается в одной из трех точек: 
Имеем:
Так как 
нетрудно доказать, что 
отсюда следует: 
то есть 
или 
Теперь сравним 
и 
то есть 
и 3, или 
и 12. Так как 
то 
и 
То есть мы получили, что 
Таким образом, наименьшее значение на отрезке 
функция принимает в точке 
и оно равно 
Как мы знаем, функция 
тоже является первообразной функции а ее наименьшее значение на отрезке 
очевидно, равно 0.
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |